Hallo. Ich möchte folgende Aufgabe lösen, aber ich komme zu gar keinem Ergebnis, weil mir irgendwie die „Vorstellungskraft“ fehlt.
Aufgabe:
Ein Ballon, der eine Forschungssonde tragen soll, wird mit Helium gefüllt (bei
T=293 K und P = 1 bar). Der Ballon hat eine Höhe von 12,5 m und einen maximalen Durchmesser von 5 m in einer Höhe von 10 m. Die Form des unteren Teils des Ballons entspricht einem Rotationsparaboloid (2 z = x2 / a2 + y2 / b2 mit a = b Rotation um die z-Achse), der obere Teil ist kugelförmig. Die Lufttemperatur soll von der Erdoberfläche bis zur Höhe von 20000 m über N.N. von 293 K auf 233 K linear abnehmen. Stellen Sie den Auftrieb des Ballons (Tragkraft) als Funktion der Flughöhe dar.
Ich hab mit der Barometrischen Höhenformel gearbeitet und versucht die Oberfläche des „körpers“ oder Ballons zu brechenen. Aber ich bin zu keinem Ergebnis gekommen. Es müsste eigentlich eine Gerade herauskommen, aber ich hab nur eine Kurve und die auch noch in Abhängigkeit von p (Druck).
Wenn mir jemand helfen kann wäre ich froh, weil ich schon am Ende bin mit meinem Latein.
Natürlich bekommst du eine Kurve. Der Ballon wird immer langsamer, da die Dichte der Luft um ihn herum abnimmt(da der Druck abnimmt). Er ist jedoch (im Idealfall) weiterhin mit He bei 1bar Druck gefüllt.
Hat parallelen zur Raketengleichung.
hm. Ich dachte ich bekomme eine Gerade, weil ich ja zwei Temperaturen habe. Diese stellen quasi 2 Punkte dar, die Verbunden werden. Aber vielleicht bin ich auch auf dem Holzweg. Jedenfalls bleib dann immernoch das Problem, dass ich die Abhängigkeit von p habe.
V*p = n*R*T
p*V = m/M * R*T
e^(-h/7990)* p0 * V = (FA * R * T)/(g * M)
e^(-h/7990)* p0 * V = (FA * R *((-3/1000)*h + 293))/(g * M)
Fa = e^(-h/7990)* p0* V* g M / ((293 - (3 h)/1000) * R)
Und dann hab ich das Volumen berechnet und hab herausbekommen:
(125 [Pi])/3
und dann ist mir aufgefallen, dass sich das Volumen ja verändert und nicht konstant bleibt.
hm. Ich dachte ich bekomme eine Gerade, weil ich ja zwei
Temperaturen habe. Diese stellen quasi 2 Punkte dar, die
Verbunden werden. Aber vielleicht bin ich auch auf dem
Holzweg. Jedenfalls bleib dann immernoch das Problem, dass ich
die Abhängigkeit von p habe.
Der Druck ergibt eine Gerade
Und dann hab ich das Volumen berechnet und hab herausbekommen:
(125 [Pi])/3
Ist falsch. Allein die Halbkugel hat ein Volummen von ca. 33m³
und dann ist mir aufgefallen, dass sich das Volumen ja
verändert und nicht konstant bleibt.
Das wäre zu komplex, der Ballon hat eine Hülle die sich nicht ausdehnt.
Rechne zuerst das Volumen korrekt, dann den Auftrieb an Anfang und immer mal wieder zwischendurch die den mittleren Auftrieb, oder hast du schon Integralrechnung gelernt? Den Druck kannst du ja über die Barometrischen Höhenformel ausrechnen.
Dann wirst du aus deinen Punkten eine Kurve zeichnen können, die bis 20000m ansteigt, deren Steigung mit der Höhe jedoch abnehmen wird.
JA ich hab gedacht dass ich dann anstelle des Volumens die Oberfläche brechenen muss?
und ich war mir nicht sicher ob ich das als „kugel“ oder als „Paraboloid“ berechenen muss oder dann das „zusammengesetzte“. eigentlich müsste das dann doch egal sein, wenn sich der Ballon „ausdehnt“. Am Anfang ist er eher paraboloidisch und „prall gefüllt“ dann „kugelförmig“ aber hat immer die gleiche Oberfläche.
Vergiss die Oberfläche. Das Volumen ist wichtig, dies ist als zusammengesetzter Körper zu berechnen, ähnlich wie einem Drachen der um 360° gedreht wurde.
Nur das du anstatt dem kleinen Kegel die Halbkugel und anstatt dem großen Kegel das Volumen, welches der Paraboloid gebildet hat.
So ähnlich wie eben ein Ballon aussieht.
Einfacher ist vielleicht: Du malst einen Halbkeis und darunter eine Normalparabel, welche in den Halbkreis übergeht.
Diese Figur drehst du gedanklich um 360°(oder auch nur 180°) und du wirst einen Körper erhalten, der fast so wie der in der Aufgabe ist.
woher stammt denn diese Aufgabe? Aus nem Buch oder aus ner realen Anwendung? Ich finde sie etwas merkwürdig. Einerseits werden sehr präzise Angaben gemacht, wie z.B. die Ballonhöhe von 12,5 m oder die parabolische Form. Andererseits wird ein linearer Temperaturgradient angenommen - das ist ja eine relativ grobe Näherung.
Du schreibst von „barometrischer Höhenformel“. Welche meinst Du? Die allereinfachste nimmt eine konstante Temperatur an, das wäre ja bei Dir nun gerade nicht der Fall.