HAllo,
musste eine Aufgabe lösen zu Untervektorräumen (UVR) im R^3.
x1+x2+x3=a
Habe heraus, dass dies nur UVR, wenn a=0 (UVR-axiome). Soweit so gut, nun muss ich aber noch eine BAsis für diesen UVR finden und weiß einfach nicht wie. Aus meinen Aufzeichnungen werde ich auch nicht so richtig schlau. KAnn mir vielleicht jemand helfen?
Vielen Dank schon mal, ist sicherlich wieder ganz einfach ;0)
Rici
Hallo.
Bronstein Seite 141ff, allerdings steht unsere Aufgabe nicht 1:1 hier… Eine Basis wäre z.B. {{x1,0,0},{0,x2,0},{0,0,x3}}. Kurz prüfen: lambda1*{x1,0,0} + lambda2*{0,x2,0} + lambda3*{0,0,x3} = 0 wenn lambda(1-3)=0. („Glück gehabt, die Vektoren sind auch linear unabhängig 
“).Und was andere Lösungen mit a!=0 angeht: stell Dir graphisch einfach ein paar Parallelen vor zu unserer Gerade/geometrischen Objekt für x(1-3). Die unterschiedlichen Geraden/geometrischen Objekte sind natürlich für die unterschiedlichen Werte von a.
Warum ‚geometrische Objekte‘ ? Immerhin stellt die 3x3 Einheitsmatrix mit ihren einzelnen Vektoren in Linearkombination ja auch einen Würfel mit der Kantenlänge 1 dar.
HTH
mfg M.L.
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hallo,
musste eine Aufgabe lösen zu Untervektorräumen (UVR) im R^3.
x1+x2+x3=a
Habe heraus, dass dies nur UVR, wenn a=0 (UVR-axiome).
statt x1 + x2 + x3 = 0 schreib ich mal
x + y + z = 0
Das ist ein LGS mit _einer_ Gleichung für _drei_ Unbekannte. Damit ist schon mal klar, daß die Lösungsmenge eine Ebene ist.
Um eine Vorstellung von der Lösungsmenge zu bekommen, kannst Du einen der drei Parameter zum „abhängigen“ Parameter erklären. Ich nehme dafür mal z, weil sich z anschaulich als „Höhe“ über der XY-Ebene interpretieren läßt:
z = –(x + y)
Nun belegen wir x und y (die „unabhängigen“ Parameter) einfach mit ein paar Werten und gucken uns an, welche Werte der abhängige Parameter z jeweils annimmt. Das ist schnell gemacht:
\ x |
\ |
\ | -1 -0.5 0 0.5 1
y \|
-----+----------------------------------
|
-1 | 2 1.5 (1) 0.5 [0]
|
-0.5 | 1.5 1 0.5 0 -0.5
|
0 | 1 0.5 0 -0.5 (-1)
|
+0.5 | 0.5 0 -0.5 -1 -1.5
|
+1 | 0 -0.5 -1 -1.5 [-2]
Die Tabelle zeigt einen Blick von „oben“ auf die XY-Ebene, wobei die Zahlen die „Höhe“ z angeben. Wie man erkennt, liegt die durch den Ursprung verlaufende Lösungsmengen-Ebene „schräg“ (Kippwinkel = 54.7…°, klar?) im Raum. Sie beinhaltet die zweite Winkelhalbierende in der XY-Ebene.
nun muss ich aber noch eine Basis für diesen UVR finden
Mit der obigen Tabelle ist das nun ganz easy.
{(0, -1, 1), (1, 0, -1)}
ist z. B. eine Basis; eie entspricht den in „()“ gesetzten Tabelleneinträgen. Wir rechnen schnell nach, daß es sich wirklich um eine Basis handelt: Aus alpha (0, -1, 1) + beta (1, 0, -1) = 0 (alpha, beta € R) folgt sofort (erste Komponente: alpha * 0 + beta * 1 = 0) beta = 0, daraus mit der zweiten Komponente alpha = 0. Die Gleichung der dritten Komponente ist auch erfüllt (0*1 + 0*(-1) = 0). Zu guter letzt kannst Du Dich noch davon überzeugen, daß daß x + y + z = 0 für alle Vektoren alpha (0, -1, 1) + beta (1, 0, -1) erfüllt ist (Rechnung überlasse ich Dir).
Das Skalarprodukt dieser Basisvektoren ist (0, -1, 1) * (1, 0, -1) = -1, also stehen die Vektoren _nicht_ senkrecht aufeinander. Eine orthogonale Basis zu finden ist aber auch kein Problem:
{(1, 1, -2), (1, -1, 0)}
wäre z. B. eine (weil…?). Sie entspricht den in „[]“ gesetzten Tabelleneinträgen. Damit kannst Du die ganze Rechnerei von oben zur Übung selbst noch mal machen.
Mit freundlichem Gruß
Martin