Hallo,
ich suche verzweifelt nach einem allgemeinen Verfahren, um bei einer gegebenen Abbilungsmatrix A die Basis des Kern(A) und des Bild(A) zu bestimmen. Ich habe nun nach langer Suche ine grobe Vorstellung davon, wie es funktioniert, und wollte wissen, ob das so stimmt (man verzeihe mir gewisse Notationsfehler):
Sei f: V - W eine lineare Abb., A= Mat (f) die dazugehörige Abb.Mat.:
Basis von Kern(A):
- Bringe A in ZSF A’ mittels Gauss- Algo. (Zeilenumformung).
- Stelle GLS mit Ax = 0 auf und löse dieses GLS.
- Der/die Vektor(en), der/die dabei herauskommen, sind als menge geschrieben die Basis von Kern(A), d.h. Kern(A) = .
Basis von Bild(A):
- Transponiere A zu A^T.
- Bringe A^T in ZSF A’ mittels Gauss- Algo. (Zeilenumformung).
- Alle Zeilen ungleich 0 sind lin. unabh., diese Zeilen bilden als Menge von Vektoren geschrieben die Basis von Bild(A), d.h. Bild(A) = .
Korrekt?
Gruß,
TruEnemy
Hallo,
ich suche verzweifelt nach einem allgemeinen Verfahren, um bei
einer gegebenen Abbilungsmatrix A die Basis des Kern(A) und
des Bild(A) zu bestimmen.
Hallo,
die Gaußelimination ist numerisch instabil, deshalb verwendet man in der Praxis meist die QR-Zerlegung (oder Abwandlungen davon) um Nullraum und Bildraum einer Matrix zu bestimmen.
Sagen wir mal die Matrix A ist eine m x n-Matrix mit m≤n und der Rang der Matrix ist m.
Die QR-Zerlegung von AT sieht dann folgendermaßen aus.
A^T=\begin{bmatrix}Q_1 & Q_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}R\0\end{bmatrix}=Q_1R
Die Matrix [Q1 Q2] ist orthonormal.
Q1 ist eine n x m-Matrix.
Q2 ist eine n x (n-m)-Matrix.
R ist eine obere rechte m x m-Dreiecksmatrix.
Die Spalten der Matrix Q2 bilden eine Basis des Nullraums (also des Kerns) von A, denn
AQ_2=R^TQ_1^TQ_2=R^T0=0
Die Spalten von Q1 bilden eine Basis des Bildraums von AT, denn Q1TQ1 ist die Einheitsmatrix, d.h. es gilt
Ax=Q_1^TQ_1Ax
Gruß
hendrik