Hallo
Ich habe folgendes Problem:
eine 2x2 Matrix beschreibt mir ein Spannungsfeld im kartesischen Koordinatensystem (2D):
( Sxx Txy )
( Txy Syy )
Diese Spannungsmatrix möchte ich nun auf ein Polarkoordinatensystem transformieren (Basistransformation).
D.h. ich möchte eine Matrix der Form:
( Srr Trp )
( Trp Spp )
erhalten, wobei x und y die kartesichen, r und p(phi) die Polarkoordinaten sind.
Wie muss ich hierbei genau vorgehen?
Mit bestem Dank im voraus
Andreas
Zu Spannungstransformationen gibt es
umfangreiche Literatur. Da man bei der
Darstellung der Spannungen im Polarkoordinaten, so wie ich sie verstehe) fundamentale Eigenschaften des Spannungtensors (z.B. Invarianz der zweiten und dritten Invarianten) ist die Anwendung im Allgemeinen eher nicht zu empfehlen.
Eine gute (und nicht falsifizierte) Darstellung der Spannungs- und Dehnungstransformation des ebenen Spannungszustandes (allerdings in karthesischen Koordinaten) bietet
Niederstadt, Günther, et al: Leichtbau mit kohlefaserverstärkten Kunststoffen. Expert Verlag. Sindelfingen 1985. ISBN 3-8169-0041-0 Buch anschauen.
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Ich habe folgendes Problem:
eine 2x2 Matrix beschreibt mir ein
Spannungsfeld im kartesischen
Koordinatensystem (2D):
( Sxx Txy )
( Txy Syy )Diese Spannungsmatrix möchte ich nun auf
ein Polarkoordinatensystem transformieren
(Basistransformation).
D.h. ich möchte eine Matrix der Form:
( Srr Trp )
( Trp Spp )
erhalten, wobei x und y die kartesichen,
r und p(phi) die Polarkoordinaten sind.
Kenne eine Moeglichkeit aus der allgemeinen Relativitaetstheorie
(die benoetigt andauernd Transformation von Tensoren - u.a. auch
Spannungstensoren - bei beliebigen Koordinatentransformationen):
Die Koordinatentransformation ist
x = r cos§
y = r sin§
bzw.
r = sqrt (x^2 + y^2)
p = arctan (y/x).
Dann transformiert sich der Spannungstensor wie folgt
Srr = dr/dx*dr/dx*Sxx + dr/dx*dr/dy*Txy + dr/dy*dr/dx*Tyx + dr/dy*dr/dy*Syy
Trp = dr/dx*dp/dx*Sxx + dr/dx*dp/dy*Txy + dr/dy*dp/dx*Tyx + dr/dy*dp/dy*Syy
Tpr = dp/dx*dr/dx*Sxx + dp/dx*dr/dy*Txy + dp/dy*dr/dx*Tyx + dp/dy*dr/dy*Syy
Spp = dp/dx*dp/dx*Sxx + dp/dx*dp/dy*Txy + dp/dy*dp/dx*Tyx + dp/dy*dp/dy*Syy.
dr/dx, dr/dy, dp/dx und dp/dy sind die partiellen Ableitungen von
r = sqrt (x^2 + y^2) und p = arctan (y/x).
Hinweis:
Es gibt sogenannte kontravariante und kovariante Tensoren. Die obigen
Formeln gelten fuer den Fall, dass der Spannungstensor kontravariant ist.
Fuer den kovarianten Fall gilt:
Srr = dx/dr*dx/dr*Sxx + dx/dr*dy/dr*Txy + dy/dr*dx/dr*Tyx + dy/dr*dy/dr*Syy
Trp = dx/dr*dx/dp*Sxx + dx/dr*dy/dp*Txy + dy/dr*dx/dp*Tyx + dy/dr*dy/dp*Syy
Tpr = dx/dp*dx/dr*Sxx + dx/dp*dy/dr*Txy + dy/dp*dx/dr*Tyx + dy/dp*dy/dr*Syy
Spp = dx/dp*dx/dp*Sxx + dx/dp*dy/dp*Txy + dy/dp*dx/dp*Tyx + dy/dp*dy/dp*Syy.
Welcher Fall zutrifft, kann ich Dir nicht sagen, haengt auch davon ab,
wie und in welchem Zusammenhang der Spannungstensor verwendet wird. Ich
rate mal, es ist der erste Fall, und ich hoffe, ich habe in diesem ganzen
Zeichenwirrwarr keinen Tippfehler.
MEB