Hallo
Ein kleines, aber im Detail doch nicht ganz so leichtes Problem:
Bauer Runkel hat eine kreisrunde Wiese mit Radius R und eine Ziege,
die von der Wiese die Haelfte der Flaeche abgrasen soll. Der Pflock,
an dem die Ziege mit einer Kette angebunden ist, steht genau am Rand
der Wiese. Wie lang (l) muss die Kette sein?
Viel Spass beim Denken und Rechnen wuenscht Tychi
Wie groß ist denn die Ziege?
Wie groß ist denn die Ziege?
Tolle Frage!
Mir hätte man gesagt ich solle nicht so „komplizeirt“ denken und die Ziege einfach als „Punkt“ betrachten.
Du hast natürlich recht mit deiner Frage!
MFG
Tobias
Hi Tychi,
das Problem war bereits mehrfach hir im Forum. Ich habe darauf in den zeiten vor dem Archiv bereits geantwortet und die Lösung dann unter dem Titel Kreisproblem nochmal später eingestellt. Leider habe ich den Link auf das Archiv nicht gebacken bekommen, daher hier noch einmal der vollständige Lösungstext:
#####################################
Puh,
das ist knifflig!
Also, wenn man den Zaunpfahl in den Koordinatenursprung legt, dann wird der relevante Halbkreis durch die Funktion
F1:y=r-sqrt(r^2-x^2)
beschrieben, der Aktionsradius der Ziege sei l, dann ist ihr Auslauf beschränkt durch
F2:y=sqrt(l^2-x^2)
Diese beiden Funktionen beschreiben einen Normalbereich bezüglich der x-Achse, so das die abkaubare Fläche durch (oh Gauss, sei mir gnädig ob dieser Schreibweise)
Integral von -z bis z (Integral von F1 bis F2 1 dy)dx
gegeben ist. Etwas unangenehm ist, daß die x-Werte der Schnittpunkte von F1 und F2 ebenfalls nur mittels transienter Funktionen darstellbar sind. Also sind sie zunächst mit z und -z bezeichnet. Die Lösung für dieses Doppelintegral ist
l^2*ATAN(z/SQRT(l^2-z^2))+r^2*ASIN(z/ABS®)+z*(SQRT(l^2-z^2)+SQRT(r^2-z^2)-2*r)
Soll die Ziege genau die Hälfte abfressen, so lautet die Lösungsgleichung:
2*l^2*ATAN(z/SQRT(l^2-z^2))+2*r^2*ASIN(z/ABS®)+2*z*SQRT(l^2-z^2)+2*z*SQRT(r^2-z^2)-4*r*z=pi*r^2
Wenn man nun einen o.B.d.A. einen Einheitskreis betrachtet, also r=1 setzt, und weiterhin die Beziehung
l^2=z^2 + (1-sqrt(1-z^2))^2
ausnutzt, dann reduziert sich das Ziegenproblem auf die Lösung der folgenden transzendenten Gleichung in z:
4*(1-SQRT(1-z^2))*ATAN(z/SQRT(-2*SQRT(1-z^2)-z^2+2))+2*ASIN(z)+2*z*SQRT(-2*SQRT(1-z^2)-z^2+2)+2*z*SQRT(1-z^2)-4*z-pi=0
Ich kann mir nicht vorstellen, daß hierfür eine analytische Lösung existiert, kann dieses aber auch nicht ausschließen. Ich habe die Lösung numerisch mittels einfacher Bisektion ermittelt, man erkält:
Z=0.9444433782
L^2=1.3426516742
L=1.1587284730
Das Seil muß also 1.1587 mal so lang sein wie der Radius des eingezäunten Bereiches.
Gruß und gute Nerven beim Nachrechnen
Ted
########################
PS.: Damals hat ein Michael eine rein geometrische Lösung gepostet, welche zu einen etwas anderen Ergebnis kam. Wir konnten nie klären, wer richtig lag.
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
mein Ergebnis ist anders
Hallo Ted
Ich bin deine Rechnung nicht durchgegangen, denn sie ist schwer
lesbar und mir fehlt die Zeit. Mein Ergebnis ist etwas anders. Unter
diesem Link ist ein geziptes pdf-File. Ich hoffe es gibt keine
Probleme mit dem Oeffnen. Es kann sein, dass der Browser die Existenz
der Datei leugnet. Man muss dann bisschen rumfummeln, mit Neu Laden
und dann Speichern oder so.
http://www.fasala.com/ziege.zip
Gruss, Tychi
Also, aus dem Stehgreif und ohne Formelsammlung würde ich die Frage wie folgt beantworten:
Ich rechne den Inhalt des Kreises aus und teile ihn durch 2. Dieser Flächeninhalt ist gesucht.
Dann gibt es eine Formel für den Inhalt von Kreisbogen und Sekante. Nun, wenn man es genau macht, sind dies 2 Kreisbögen und 1 gemeinsame Sekante. Man könnte, wie ich, wenn man keine Hilfsmittel oder Formelsammlung parat hat, solange knobeln an der Länge der Sekante bis die Lösung halbwegs stimmt. Um dann eine einzige, ideale Formel zu erhalten müßte man die 2 Halbkreise im Verhältnis setzen. Ich bin davon überzeugt, daß es hierbei eine Gesetzmäßigkeit gibt. Die diese Gesetzmäßigkeit auf den Flächeninhalt bezogen, die ganze Knobelei und Rechnerei mit den 2 Halbkreisen erspart.
Aber wenn ich mir die Frage genau ansehe (es sei denn, man will mich auf dem Holzpfad führen), so braucht man nicht zu rechnen. Man nimmt einfach den Zirkel. Eine etwaige Lösung (habe jetzt keinen Zirkel) könnte so sein. Ich drittele den Kreis, indem ich mit den Radius in den Zirkel nehme und Halbkreise über den Mittelpunkt schlage, wieder da ansetze, wo die Linie den Umfang trifft - Kreis gedrittelt.
Zwischen den Punkten eines Drittels ziehe ich eine Sekante - dies muß der Schlüssel sein (von der Länge = Länge der Kette).
Für jemanden der dies nachvollziehen will sei gesagt, wenn ich in allen drei Drittel diese Sekante ziehe, so entsteht ein gleichseitiges Dreieck, dies müßte um diese Theorie zu beweisen, von der Fläche die Hälfte des Kreises sein.
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Also, es ist so wie ich mir es gedacht habe, die längste Sekante (Durchmesser) dritteln. Dort wiederum eine Sekante einzeichnen (besser ist es, wenn diese Sekante waagerecht ist). Dann mit dem Zirkel in dem Punkt einstechen, wo der Durchmesser den Kreisrand berührt. Dann ein Bogen schlagen von den Punkten wo die Sekante den Kreisbogen berührt = die Hälfte des Kreisflächeninhaltes.
Mein Problem, wie tue ich eine Strecke Dritteln mit dem Zirkel?