Hallo.
Bei einer Aufgabe in Stochastik ist mir etwas aufgeallen, worüber ich mich wundere.
Und zwar geht es um eine klassische Aufgabe, nämlich den Test um TBC, bei den zwei Zufallsvariablen X und Y gegeben sind
X= 0 Testperson TBC hat
X= 1 Testperson gesund ist
y= 0 Testergebnis positiv
Y= 1 Testergebnis negativ
Jetzt kommt bei
„Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt ein positives Testergebnis bei einer gesunden Person auf“
etwas anderes heraus als bei
„Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person nicht an TBC leidet, falls das Testergebnis positiv ist“
Gesucht ist beim ersten doch
P[Y=0|X=1]
beim zweiten
P[X=1|Y=0]
Jetzt kommt bei beiden etwas unterschiedliches heraus, was mich sehr verwundert.
Warum gibt es einen Unterschied, ob man „positives Testergebnis bei einer gesunden Person“ oder „Person ist gesund, aber das Testergebnis ist positiv“
Irgendwie meinen beide Wahrscheinlichkeiten etwas anderes. Kann mir mal jemand erklären, was genau?
Grüße
McMike
Hallo,
bedingte Wahrscheinlichkeiten mit vertauschten Bedingungen müssen nicht symmetrisch sein. Das kann man mit einem ganz einfachen Beispiel zeigen:
Sagen wir mal, von 1000 Personen seien 100 krank (p(krank)=10%). Weiterhin sei der Test in der Lage, sicher jeden Kranken als krank zu identifizieren, dafür schlage er bei 10% aller Gesunden fälschlicherweise an (p(pos|krank)=10%, p(pos|gesund)=100%). Daraus läßt sich eine Vierfelder-Tafel erstellen:
| Person |
| gesund | krank | Summe
--------------+--------+--------+------
positiv | 90 | 100 | 190
Test --------+--------+--------+------
negativ | 810 | 0 | 810
--------------+--------+--------+------
Summe | 900 | 100 | 1000
„Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt ein positives
Testergebnis bei einer gesunden Person auf“
p(pos|gesund) = 90/900 = 10% (der Wert war im Bsp. vorgegeben)
„Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person nicht
an TBC leidet, falls das Testergebnis positiv ist“
p(gesund|pos) = 90/190 = 47%
Genauso:
p(neg|krank) = 0/100 = 0%
p(krank|neg) = 0/810 = 0%
(hier ist es symmetrisch; wenn die Spezifität nicht 100% ist, dann wird auch dieses Paar unsymmetrisch).
LG
Jochen
Hi
Ich verstehe aber leider immer noch nicht, wann ich nach P[Y=0|X=1] suche oder nach P[X=1|Y=0]. Gibt es da irgendein Erfolgsgeheimnis oder wovon mache ich das abhängig?
@Jo…
Alleine schon für die schöne Tabelle hättest du eigentlich mehr als 1 Stern verdient, leider kann man ja nur einen vergeben…
Grüße
McMike
Hallo,
Ich verstehe aber leider immer noch nicht, wann ich nach
P[Y=0|X=1] suche oder nach P[X=1|Y=0]. Gibt es da irgendein
Erfolgsgeheimnis oder wovon mache ich das abhängig?
Das hängt von der Frage ab, die Du stellst. Da gibt es kein Geheimnis, das ist ganz trivial.
Beispiel (mit aktuellem Bezug 
:
Es kommt ein Gast in die Kneipe. Nun sei die Frage: Wie wahrscheinlich ist dieser Gast ein Raucher?
Die Frage läßt sich umso besser beantworten, je mehr (statistische) Informationen man hat. Sei der Anteil an Rauchern in der Bevölkerung p(Raucher) = 40%. Alleine mit diesem Wissen ist die Antwort auf die Frage: 40%.
Wissen wir aber mehr, zB. dass der Anteil an RaucherInnen 50% beträgt, der an Rauern aber nur 35%, und wir wissen, ob der Gast männlich oder weiblich ist, dann ist die Antwort entweder 35% oder aber 50%. Das wären dann p(Raucher|Mann) bzw. p(Raucher|Frau).
Natürlich könnten wir anstatt nachzusehen, ob dieser konkrete Gast nun Mann oder Frau ist, auch noch statistisches Wissen über das Kneipenbesuchsverhalten von Männern und Frauen berücksichtigen und die Bedingten Wahrscheinlichkeiten p(Raucher|Mann) bzw. p(Raucher|Frau) berechnen.
Der Betreiber einer Lungenklinik mag eine andere Frage haben. Für ihn ist es wichtig, ZB. die Zahl von Sanitären Einrichtungen für Männer und für Frauen zu planen. Dazu interessiert ihn ja, wie hoch der Anteil an Männern bzw. Frauen ist, die in die Klinik kommen. Das aber ist p(Mann|Raucher) bzw. p(Frau|Raucher).
@Jo…
Alleine schon für die schöne Tabelle hättest du eigentlich
mehr als 1 Stern verdient, leider kann man ja nur einen
vergeben…
Danke schön!
LG
Jochen