Befristeter Vertrag und unbefristete Stellen

Ein Arbeitnehmer hat einen befristeten Arbeitsvertrag im medizinischen technischen Bereich.
Er bekommt mit das eine Teilzeitkraft eine unbefristete Stelle aufgibt. Er bewirbt sich um diese Stelle.
Obwohl es seinen Profil entspricht wird ihm die Stelle nicht gegeben, und extern ausgeschrieben.
Was kann die Person tun?

Ferner hat die Person eine Vollzeitstelle, die Person will diese jetzt in eine Teilzeitstelle umwandeln. Das Unternehmen verfügt über ausreichend Stellen auch Teilzeitstellen. Welchen Grund kann es den geben diesen Wunsch abzulehnen? Wäre das nicht eine ungleichbehandlung gegenüber anderen Arbeitnehmern die bereits Teilzeit arbeiten?

Ein Arbeitnehmer hat einen befristeten Arbeitsvertrag im
medizinischen technischen Bereich.

Privat? Kirche? Öffentlicher Dienst? Gilt ein Tarifvertrag o.ä.?

Er bekommt mit das eine Teilzeitkraft eine unbefristete Stelle
aufgibt. Er bewirbt sich um diese Stelle.
Obwohl es seinen Profil entspricht wird ihm die Stelle nicht
gegeben, und extern ausgeschrieben.
Was kann die Person tun?

Kommt drauf an, ob es Regelungen dazu gibt (arbeitsvertraglich, tarifvertraglich, Betriebsvereinbarung) … und das ‚‚Warum‘‘ der Ablehnung könnte auch recht informativ sein.
Ansonsten braucht der AG den befristet eingestellten AN lediglich über solche Arbeitsplätze informieren http://www.gesetze-im-internet.de/tzbfg/__18.html (ein explizites Recht, dass der AN dann auch diese Stelle erhält, ergibt sich daraus aber m.E. nicht)

Ferner hat die Person eine Vollzeitstelle, die Person will
diese jetzt in eine Teilzeitstelle umwandeln.

Wie lange ist der AN überhaupt dort tätig?

Welchen Grund kann es den geben diesen Wunsch abzulehnen?

‚‚Ein betrieblicher Grund liegt insbesondere vor, wenn die Verringerung der Arbeitszeit die Organisation, den Arbeitsablauf oder die Sicherheit im Betrieb wesentlich beeinträchtigt oder unverhältnismäßige Kosten verursacht. 3Die Ablehnungsgründe können durch Tarifvertrag festgelegt werden. 4Im Geltungsbereich eines solchen Tarifvertrages können nicht tarifgebundene Arbeitgeber und Arbeitnehmer die Anwendung der tariflichen Regelungen über die Ablehnungsgründe vereinbaren.‘‘ (§ 8 TzBfG)

Wäre das
nicht eine ungleichbehandlung gegenüber anderen Arbeitnehmern
die bereits Teilzeit arbeiten?

Nicht automatisch. Das sollte man auch immer einzelfallbezogen sehen und die Hintergründe kennen bzw. soviel wie möglich zur Situation wissen.