Begrifflichkeitsschwiewrigkeiten! :(

[Tobias_bed371]

Liebe Mathematiker!

Es wäre sehr freundlich von euch wenn mir mal jemand den Unterschied zwischen Äqiv.Klassen, Kong.Klassen und Restklassen erklären könnte.

Ach und dann wäre da noch etwas: Ich habe 2 nicht leere Mengen A und B und eine Abbildung f von A nach B, wobei f = id gilt. Gilt dann auch ordA = ordB? Oder gilt dass nicht immer?

Ach ja nochwas, Mathematiker sagen ja bzw. die Bücher, „Man bildet eine Menge auf oder in eine Menge ab“. Wo ist denn da der Unteschied zwischen „auf“ und „in“?

Außerdem stell ich mir die Frage, ob ich dann eben auch A auf
C = leere Menge abbilden kann? (Eher nicht oder? Da ja C kein Element hat! Aber müsste ich dann nicht sagen, ich habe eine Abbildungen(Relation) zwischen den Elementen von Mengen?) Ansonsten müsste es ja eine Abbildung von C nach A bzw. von A nach C geben!

Und wo wir grad bei Abbildungen sind, es gibt ja die „wohldefinierten“ Abbildungen, und die partiellen, also diese die im Gegensatz zu den „wohldefinierten“ nicht „eindeutig“ sondern nur „total“ sind.(also dass nicht jedes Urbild eine Relation zu einem Bild hat.)Nun hab ich gelesen, dass WENN eine Abbildung wohldefiniert ist, man sie unter bestimmen Bedingungen injektiv oder(Disjunktion) surjektiv nennt. Nun ist es ja so, dass eine partielle/teil-Abbildung die Eigenschaften der Surjektivität haben kann. Wenn man surjektiv definiert, dass jedes Bild mind. ein Urbild hat, und nicht gleichzeitig noch den Zusatz verlangt, dass jedes Urbild genau ein Bild hat! ( Ist in diesem Fall das WENN als NUR DANN WENN anzusehen, und man lässt deswegen den Zusatz weg, oder kann eine surjektive Abbildung doch partiell sein?)

Angenommen C sei jetzt nicht leer! Wir haben die eine Abbildung f von A nach B und haben noch die Abbildung g von B nach C. Nun sei die Verkettung der beiden die Abbildung i von A nach C. Wenn ich jetzt weiss, dass i bijektiv ist, so weiss ich ja, dass f auf jeden Fall wohldefiniert sein muss, aber für g weiss ICH es nicht! Deswegen klärt mich da bitte auf was genau Sache ist mit part. und wohldefinierten Abbildungen bezüglich der Surj…

Nun ja, ich wäre sehr dankbar für Antworten von euch.

Gruß
Tobias

[Zwergenbrot]

Hallo Tobias,
es ist sehr früh bei mir, Du hast viele Fragen, deshalb erstmal nur wenige Antworten:

Ach ja nochwas, Mathematiker sagen ja bzw. die Bücher, „Man
bildet eine Menge auf oder in eine Menge ab“. Wo ist denn da
der Unteschied zwischen „auf“ und „in“?

„In“ heißt, dass das Ziel der Abbildung nicht vollkommen getroffen wird. Analog „auf“, wenn das der Fall sein soll.
Also verwendet man „auf“ eigentlich nur, wenn es sich um eine surjektive Abbildung handelt (jedes Element von B ist ein Funktionswert, wenn f: A -> B).
Wenn man sich nicht sicher ist oder beides zulassen will, dann sagt man „in“ oder besser „nach“

Außerdem stell ich mir die Frage, ob ich dann eben auch A auf
C = leere Menge abbilden kann? (Eher nicht oder? Da ja C kein
Element hat!

Man mag darüber diskutieren. Im Allgemeinen musst Du jedem Element von A auch eines in C zuordnen. (f: A -> C)
Die Frage ist nun, ob man es zulässt, dass die leere Menge auf die leere Menge abgebildet wird. Dann kann man ja kein x aus A finden, für das es nicht auch ein f(x) in C gebe.
Aber ich denke man sollte sowas schlicht nicht definieren, man bekommt dann nur blöde Gegenbeispiele für gute, brauchbare Sätze.

Aber müsste ich dann nicht sagen, ich habe eine
Abbildungen(Relation) zwischen den Elementen von Mengen?)

Eine Relation ist glaube ich, keine Abbildung.
Und nein. Erstmal bilde ich eine Menge in/auf eine andere ab.
Welches Element da nun welchem zugeordnet wird, ist für die grundsätzlichen Fragen der Mathematik vorläufig nicht von Belang.
Die Abbildung ist im Grunde also die Menge aller Paare (a,b) (a aus A und b aus B). (nicht ganz, aber im Grunde ja)

Ansonsten müsste es ja eine Abbildung von C nach A bzw. von A
nach C geben!

Auch wenn man sowas vielleicht nicht definiert, ist eine Abbildung immernoch zwischen Mengen und nicht zwischen ihren Elementen definiert. Aber eine interessante Frage.

Sorry, sehe gerade, das bei Dir eine Abbildung nicht immer eindeutig sein soll. Darf ich Dich darum bitten, die Definition für „Relation“ anzugeben, wenn Du sie gerade irgendwo hast, die Du benutzt. Vielleicht war ich zu vorschnell damit, dass es sich nicht um eine Abbildung nach im Sinne der von Dir gebrauchten Definition handelt.

Grüße,
Zwergenbrot (der jetzt erstmal schlafen geht.)

[michael_f7f5bc]

hi,

Es wäre sehr freundlich von euch wenn mir mal jemand den
Unterschied zwischen Äqiv.Klassen, Kong.Klassen und
Restklassen erklären könnte.

äquivalenzklassen sind klassen, die durch eine äquivalenzrelation gebildet werden.
eine äquivalenzrelation ist die mathematische fassung von etwas, was umgangssprachlich eine gleichheit in einem aspekt ist. dinge sind gleich groß, gleich schwer, usw. alles, was diese gleichheit erfüllt, ist teil einer „klasse“, der äquivalenzklasse.
mathematisch ist eine äquivalenz gekennzeichnet durch reflexivität (alle dinge sind gleich mit sich selbst), symmetrie (wenn etwas gleich etwas anderem ist, dann auch umgekehrt) und durch transitivität (wenn etwas gleich etwas anderem ist und dieses gleich etwas drittem, „gleicht“ auch das erste dem dritten.)
restklassen sind äquivalenzklassen bzgl. der relation „den gleichen rest bei teilung haben“, also ein beispiel von äquivalenzklassen.
„kongr.klassen“ kenn ich nicht. vermutlich ist kongruenz gemeint. naja: kongruenz ist auch eine äquivalenzrelation. kongruenzklassen sind also auch beispiele von äquivalenzklassen.

äquivalenzklassen ist der allgemeine begriff. die beiden anderen sind eine besondere ausprägung davon.

Ach und dann wäre da noch etwas: Ich habe 2 nicht leere Mengen
A und B und eine Abbildung f von A nach B, wobei f = id gilt.
Gilt dann auch ordA = ordB? Oder gilt dass nicht immer?

wenn du mit ordA die „kardinalität“ von A meinst (anzahl der elemente im endlichen fall), dann stellt sich noch die frage, was mit „id“ gemeint ist. ist id die identitätsabbildung, die durch id(x) = x definiert wird (und durch nichts sonst), dann ist natürlich eine abbildung
id: N -> R
denkbar, die alle natürlichen zahlen in die reellen zahlen „einbettet“ oder wo die kardinalität von N und R nicht übereinstimmen. ähnliches kannst du auch bei endlichen mengen und endlichen übermengen konstruieren.

(manche leute verwenden aber für die abbildung i: N -> R: i(x)=x nicht den ausdruck identität, sondern bezeichnen mit identität nur, wenn links und rechts auch die gleiche menge steht. andernfalls ist es eben nicht identität, sondern „einbettung“ o.ä.)

Ach ja nochwas, Mathematiker sagen ja bzw. die Bücher, „Man
bildet eine Menge auf oder in eine Menge ab“. Wo ist denn da
der Unteschied zwischen „auf“ und „in“?

prinzipiell kein unterschied für den begriff der abbildung. „in“ ist neutral, „auf“ meint (jedenfalls bisweilen) „surjektivität“, also dass alle elemente der menge, in die abgebildet wird, angenommen werden. ich weiß jetzt aber nicht, ob diese begriffsbildung allgemein üblich ist.

Außerdem stell ich mir die Frage, ob ich dann eben auch A auf
C = leere Menge abbilden kann? (Eher nicht oder? Da ja C kein
Element hat! Aber müsste ich dann nicht sagen, ich habe eine
Abbildungen(Relation) zwischen den Elementen von Mengen?)
Ansonsten müsste es ja eine Abbildung von C nach A bzw. von A
nach C geben!

nein. voraussetzung einer abbildung ist eine relation.
abbildungen zwischen mengen sind auch abbildungen zwischen den elementen der mengen. beide sprechweisen sind üblich.

Und wo wir grad bei Abbildungen sind, es gibt ja die
„wohldefinierten“ Abbildungen, und die partiellen, also diese
die im Gegensatz zu den „wohldefinierten“ nicht „eindeutig“
sondern nur „total“ sind.(also dass nicht jedes Urbild eine
Relation zu einem Bild hat.)

diese begriffsbildung kenn ich nicht. zu den eigenschaften einer abbildung f: A -> B gehört, dass sie jedem element von A ein bild in B zuweist.

Nun hab ich gelesen, dass WENN eine Abbildung wohldefiniert ist,
man sie unter bestimmen Bedingungen injektiv oder(Disjunktion)
surjektiv nennt. Nun ist es ja so, dass eine
partielle/teil-Abbildung die Eigenschaften der Surjektivität haben
kann. Wenn man surjektiv definiert, dass jedes Bild mind. ein Urbild
hat, und nicht gleichzeitig noch den Zusatz verlangt, dass jedes
Urbild genau ein Bild hat! ( Ist in diesem Fall das WENN als NUR
DANN WENN anzusehen, und man lässt deswegen den Zusatz weg, oder
kann eine surjektive Abbildung doch partiell sein?)

injektiv bedeutet: verschiedene urbilder erezeugen verschiedene bilder.
surjektiv bedeutet: alle elemente der bildmenge sind bilder eines urbilds.
dass jedes urbild ein bild haben muss, ist m.w. teil der definition von „abbildung“ (s.o.)

Angenommen C sei jetzt nicht leer! …

ich passe. die definitionen, die ich im kopf hab, sind andere.

hth
m.

[Urs_Kollbrunner_793d41]

Hallo Tobias

Hier noch mein Senf zu einem Teil Deiner Fragen.

Ach ja nochwas, Mathematiker sagen ja bzw. die Bücher, „Man
bildet eine Menge auf oder in eine Menge ab“. Wo ist denn da
der Unteschied zwischen „auf“ und „in“?

Außerdem stell ich mir die Frage, ob ich dann eben auch A auf
C = leere Menge abbilden kann? (Eher nicht oder? Da ja C kein
Element hat! Aber müsste ich dann nicht sagen, ich habe eine
Abbildungen (Relation) zwischen den Elementen von Mengen?)
Ansonsten müsste es ja eine Abbildung von C nach A bzw. von A
nach C geben!

Das hängt ein wenig von der genauen Definition davon ab, was Du unter einer Abbildung verstehst. Und da gibt es verschiedene Varianten, wobei es für diese (und auch einen Teil der nachfolgenden Fragen) wichtig sein kann, genau zu wissen worüber man spricht. Ich halte mich an folgende Definition:
Eine Abbildung F ist ein Tripel (A,B,C), wobei A und B Mengen sind und C eine Relation auf A und B (genauer eine Teilmenge von AxB) mit der Eigenschaft, dass für jedes a in A genau ein (a,b) in C existiert (die Relation ist linkstotal und rechtseindeutig. A heisst dann der Definitionsbereich und B der Bildbereich der Abbildung und C ist der sogenannte Graph. Man sagt dann auch F sei eine Abbildung von A nach/in B.
Mir scheint, dass Du im Wesentlichen von diesem Begriff ausgehst.
Um auf die Frage zurückzukommen: in diesem Sinne gibt es genau dann eine Abbilung von A in die leere Menge, wenn A selbst die leere Menge ist. In diesem Fall gibt es genau eine. Über den Nutzen oder Nichtnutzen dieser Abbildung möchte ich mich hier nicht äussern.

Und wo wir grad bei Abbildungen sind, es gibt ja die
„wohldefinierten“ Abbildungen, und die partiellen, also diese
die im Gegensatz zu den „wohldefinierten“ nicht „eindeutig“
sondern nur „total“ sind.(also dass nicht jedes Urbild eine
Relation zu einem Bild hat.)

Die Definition von wohldefinierten Abbildung und der partiellen Abbildung musst Du mir erklären. In diesem Zusammenhang habe ich den Begriff wohldefiniert noch nie gehört. Er wird mehr gebraucht, um zu betonen, dass ein Abbildungsvorschrift, die man hinschreibt, auch tatsächlich eine Abbildung ergibt. Aber vielleicht lerne ich noch etwas dazu.
Mein Gefühl würde sagen, dass eine partielle Abbildung von A nach B eine Abbildung sein muss, die „nur“ auf einer Teilmenge von A definiert ist, oder um bei der obigen Definion zu bleiben, C ist Teilmenge von AxB, so dass für jedes a in A höchstens ein (a,b) in C existiert. Kannst Du das bestätigen oder die korrekte Definition nachliefern?

Nun hab ich gelesen, dass WENN
eine Abbildung wohldefiniert ist, man sie unter bestimmen
Bedingungen injektiv oder(Disjunktion) surjektiv nennt.

Injektiv heisst für gewöhnlich, dass aus f(x)=f(y) x=y folgt. Surjektiv bedeutet, dass jedes Element in B tatsächlich Bild eines Elementes aus A ist. Oder um in der Sprache der Relationen zu bleiben: inkjektiv C ist linkseindeutig, surjektiv C ist rechtstotal.

Nun
ist es ja so, dass eine partielle/teil-Abbildung die
Eigenschaften der Surjektivität haben kann. Wenn man surjektiv
definiert, dass jedes Bild mind. ein Urbild hat, und nicht
gleichzeitig noch den Zusatz verlangt, dass jedes Urbild genau
ein Bild hat! ( Ist in diesem Fall das WENN als NUR DANN WENN
anzusehen, und man lässt deswegen den Zusatz weg, oder kann
eine surjektive Abbildung doch partiell sein?)

Da brauche ich zuerst eine genaue Definition von wohldefiniert und nicht wohldefiniert haben. Gilt auch für den Rest der Fragen.

Angenommen C sei jetzt nicht leer! Wir haben die eine
Abbildung f von A nach B und haben noch die Abbildung g von B
nach C. Nun sei die Verkettung der beiden die Abbildung i von
A nach C. Wenn ich jetzt weiss, dass i bijektiv ist, so weiss
ich ja, dass f auf jeden Fall wohldefiniert sein muss, aber
für g weiss ICH es nicht! Deswegen klärt mich da bitte auf was
genau Sache ist mit part. und wohldefinierten Abbildungen
bezüglich der Surj…

Hoffentlich konnte ich Dir ein wenig helfen. Und wenn Du noch einge weitere Angaben zu den aufgeworfenen Fragen lieferst, würde ich gerne weiter auf Deine Fragen eingehen.

Gruss Urs

[Tobias_bed371]

Die partielle Abbildung!
Hallo!

Also unter einer partiellen oder anders gesagt unter einer teilweise definierten Abbildung, spricht man wenn man die Mengen M und N hat und nur eine echte Teilmenge T von M eine Relation zu N hat. So und wenn ich nun eine solche partielle Abbildung R zwischen M und N habe, so kann R nicht injektiv nach Defin. sein, aber trotzdem kann R die Definition von „surjektiv“ erfüllen! Also angenommen M besteht aus 1,2,3,4 und N aus 1,2,3 , so tut R 1,2,3 aus M auf 1,2,3 aus N abbilden! Dass heißt die „arme“ 4 hat dann wegen der nur teilweise def. Abbildung, kein Bild! Demnach ist R nicht injektiv! Aber jedes Bild hat ein Urbild, also ist R surjektiv oder???

Gruß
Tobias

[Urs_Kollbrunner_793d41]

Hallo

Also unter einer partiellen oder anders gesagt unter einer
teilweise definierten Abbildung, spricht man wenn man die
Mengen M und N hat und nur eine echte Teilmenge T von M eine
Relation zu N hat.

Das ist ja, was tatsächlich vermutet habe, die Abbildung von M nach N braucht nicht auf der ganzen Menge M definiert sein.

So und wenn ich nun eine solche partielle
Abbildung R zwischen M und N habe, so kann R nicht injektiv
nach Defin. sein, aber trotzdem kann R die Definition von
„surjektiv“ erfüllen!

Als erstes macht sicher die Definition von surjektiv weiterhin auch ohne Änderung für partielle Abbildungen Sinn, in dem Sinn dass jedes Element aus N „getroffen“ wird, d.h. Bild eines Elementes aus M bzw. T ist.
Ich denke, man kann aber auch die Injektivität in der folgenden Form übernehmen: Gilt für zwei Elemente x und y aus T (Teilmenge von M, auf der die Funktion definiert ist) f(x)=f(y), dann gilt x=y. Das funktioniert doch weiterhin. Oder widerspricht das der Definition von Injektivität, die Du kennst?

Also angenommen M besteht aus 1,2,3,4
und N aus 1,2,3 , so tut R 1,2,3 aus M auf 1,2,3 aus N
abbilden! Dass heißt die „arme“ 4 hat dann wegen der nur
teilweise def. Abbildung, kein Bild! Demnach ist R nicht
injektiv! Aber jedes Bild hat ein Urbild, also ist R surjektiv
oder???

Wenn man obige Definitionen nimmt, ist diese Abbildung sowohl injektiv, wie auch surjektiv. Auf jeden Fall ist diese Abbildung eine „echte partielle Abbildung“ von M nach N, d.h. eine partielle Abbildung, die keine Abbildung ist.

Ich komme nochmals auf eine Deiner ursprünglichen Fragen zurück:

Angenommen C sei jetzt nicht leer! Wir haben die eine
Abbildung f von A nach B und haben noch die Abbildung
g von B nach C. Nun sei die Verkettung der beiden die
Abbildung i von A nach C. Wenn ich jetzt weiss, dass
i bijektiv ist, so weiss ich ja, dass f auf jeden
Fall wohldefiniert sein muss, aber für g weiss ICH
es nicht! Deswegen klärt mich da bitte auf was
genau Sache ist mit part. und wohldefinierten
Abbildungen bezüglich der Surj…

Für die erste Abbildung f weisst Du, dass sie eine „echte“ Abbildung ist, d.h. auf ganz A definiert ist. Von der zweiten Abbildung g weisst Du, dass sie surjektiv. Die Abbildung f aber braucht nicht surjektiv zu sein, wogegen die Abbildung g durchaus „nur“ eine partielle Abbildung sein kann. Ein Beispiel gefällig?
Nimm A={1,2,3,4}=C, B={1,2,3,4,5}, f soll jede Zahl auf sich abbilden und g soll die Zahlen 1,2,3,4 auf sich abbilden und für fünf nicht definiert sein.

Gruss Urs

[Enno_Sandner_66c4aa]

Hallo,
nur noch zwei Anmerkungen. Eine Äquivalenzrelation ist eine Zerlegung (=Partitionierung) einer Menge, d.h. die Menge wird in nicht „überlappende“ (=disjunkte) Mengen (=Partitionen=Äquivalenzklassen) zerlegt. Z.B. {a,b,c,d,e} in {a,b},{c,e} und {d}. Elemente einer Äquivalenzklasse werden als gleich(wertig) betrachtet, d.h. man abstrahiert von der Ausgangsmenge und betrachtet sie gewissermaßen „grobrastiger“ - in Analogie z.B. zur Betrachtung des Meeres aus einem Flugzeug vs. auf Meereshöhe .
Eine Kongruenz(relation) ist eine spezielle Form einer Äquivalenzrelation, bei der zudem die „Verträglichheit“ mit bestimmten Funktionen/Operationen gefordert wird - entsprechend ist eine Kongruenzklasse eine Äquivalenzklasse einer Kongruenz(relation). Verträglichheit heißt dabei, daß das Ergebnis der Operationen gleichwertige Ergebnisse liefert, wenn man die Argumente durch gleichwertige Argumente (also z.B. a durch b oder c durch e) ersetzt. Die Operationen sind also bzgl. der definierten Gleichheit wohldefiniert.
Eine Restklasse ist m.E. eine spezielle Form einer Kongruenzklasse bzgl. einer Kongruenzrelation über den ganzen/natürlichen Zahlen und dem ganzzahligen Divisionsrest („modulo“).

Ach und dann wäre da noch etwas: Ich habe 2 nicht leere Mengen
A und B und eine Abbildung f von A nach B, wobei f = id gilt.
Gilt dann auch ordA = ordB? Oder gilt dass nicht immer?

Es gilt nur ord(A)