Kann mir vlt jemand ein Beispiel von zwei Folgen nennen, für die gilt: Die Summe Häufungspunkte ist nicht Häufungspunkt der Summe der Folgen. Also anschaulich:
Folgen (an) und (bn) mit Häufungspunkten a bzw. b
Und a+b soll nicht Häufungspunkt von an+bn sein.
Ich hoffe das ist so verständlich und es kann mir jemand helfen, denn ich kann einfach kein Beispiel nennen, obwohl mir das Prinzip klar erscheint.
Vielen Dank schon im Voraus!!!
Hallo,
wie Dir sicher auch sofort klar war wird es einen guten Grund haben, wenn da „Häufungspunkt“ steht und nicht „Grenzwert“. Der Schlüssel zur Lösung der Aufgabe wird also höchstwahrscheinlich darin liegen, zwei Folgen mit HPen zu konstruieren, die aber nur HPe sind und keine Grenzwerte. Du kennst den kleinen, aber feinen Unterschied zwischen HP und Grenzwert?
Gruß
Martin
Hm wäre das denn ein solches Beispiel:
Die Folge (an)=1 hat Häufungspunkt 1, die Folge (bn)=(-1)^n hat die Häufungspunkte -1 und 1. an+bn= 1+(-1)^n hat dann Häufungspunkte 2 und 0??? Kann ich das so machen??
Ja, klar, es stimmt doch alles. Es ist sogar in einer bestimmten Hinsicht ein besonders gutes Beispiel, weil es zeigt, dass der HP einer der beiden Folgen (bei Dir (an)) sogar ein Grenzwert sein darf. Du dürftest nur nicht von beiden Folgen verlangen, je einen HP zu haben, der jeweils auch Grenzwert der Folge ist. Dann könntest Du die Aussage der Aufgabe nicht mehr beweisen, denn die Summe der Grenzwerte zweier Folgen (wenn jede einen Grenzwert hat) ist garantiert immer gleich dem Grenzwert der Summenfolge.
(Wenn Du es symmetrisch magst: Mit (an) = 0 statt 1 geht es genauso gut.)
Aber bei dem Beispiel ist doch gerade die Summe der Häufungspunkte Häufungspunkt der Summenfolge. Solange eine der beiden Folgen konvergiert, wird das auch immer so sein.
Ich würde eher vorschlagen:
an = (-1)n (besitzt u.A. den HP 1)
bn = (-1)n+1 (besitzt u.A. den HP 1)
an + bn = 0 (besitzt nur den HP 0, nicht 1+1=2)
Liebe Grüße
Immo
Stimmt, der Tutor meinte, dass die Folgen nicht konvergieren dürfen. Aber wieso ist die Summe der HP immer HP der Summenfolge, wenn eine konvergent ist?? Das verstehe ich nicht ganz…
Trotzdem Danke an euch beide!!
Hallo Immo,
Aber bei dem Beispiel ist doch gerade die Summe der
Häufungspunkte Häufungspunkt der Summenfolge. Solange eine der
beiden Folgen konvergiert, wird das auch immer so sein.
da hast Du aber sowas von recht 
Danke für den Hinweis! Um eine Idee davon zu bekommen, wie zwei Folgen mit der verlangten Eigenschaft aussehen könnten, habe ich auf einem Blatt Papier herumgekritzelt, dabei aber statt der Summen irrtümlich die Mittelwerte der Folgenglieder gemalt (grrrr!), denn das ist ja auch viel augenfälliger. Ich habs echt nicht gemerkt. So kam dann meine (wen wunderts) falsche Schlussfolgerung zustande.
@rjdkmv: Entschuldigung, war mein Fehler. Vergiss bitte, was ich Dir in „Re^3“ erzählt habe.
Sollte natürlich nicht vorkommen, sowas.
Mit bestem Gruß
Martin