Berechnung der Umlaufdauer u.ä

MyNarY · 27. Oktober 2010 um 11:07

Hallo Leute, ich schreibe am Freitag eine KLassenarbeit in Physik und komme bei 2 Aufgaben nicht weiter, vllt könnt ihr mir ja weiterhelfen

Hier die Fragen:

1)„In welcher Zeit müßte sich die Erde um ihre Achse drehen, damit ein körper am Äquator weniger wiegt, als an den polen? re=6370 km, g=9,81m/s²“
-> Die Erdabplattung braucht nicht berücksichtigt zu werden!

2)„In welcher Entfernung r1 vom Erdmittelpunkt wird ein zwischen Erde und MOnd befindlicher Körper schwerelos(Distanz Mondmittelpkt-Erdmittelpkt. r=384400km, Mondmasse 1/81 Erdmasse)?“ Erdmasse ist ja 6*10^24

habe mir schon zu den Aufgaben Gedanken gemacht und auch einige Rechnungen angestellt, komme aber leider trotzdem nicht auf die richtigen Ergebnise. Habt ihr eine Idee, wie man die Aufgaben lösen könnte?

Gruß von Denis

d_punkt · 27. Oktober 2010 um 11:38

Hallo,

zur zweiten Frage:
Damit der Körper schwerelos ist, müssen die Gravitationskräfte von Erde und Mond gleich sein. Das sollte dann auf eine quadratische Gleichung zurückführbar sein, die z.B. mit der Mitternachtsformel gelöst werden kann. Wichtig: Es werden zwei Distanzen rauskommen, eine davon liegt „hinter“ dem Mond. Die ist natürlich bei der Fragestellung zu verwerfen.

zur ersten Frage:
Möglicherweise stehe ich grade auf dem Schlauch, aber reicht nicht schon eine beliebige Rotationszeit aus, damit der Körper weniger wiegt? Evtl. mache ich es mir aber auch zu einfach

Grüsse
d.

MyNarY · 27. Oktober 2010 um 11:53

Hallo

Ja, das ist mir auch klar geworde, dass Die Gravitationskräfte gleich sein müssen, damit der Körper schwerelos ist. Mit der Mitternachtsformel könnte es sich durchaus berechnen lassen, dass ist gar keine schlechte Idee, doch ich dachte eher an Gleichsetzen der Kräfte, die Erde und Mond haben. Ich werde es gleich mal ausprobieren.

Ob es wirklich eine beliebige sein kann, weiß ich nicht, doch von der Aufgabenstellung kann man dies ausschließen, denn der Körper soll ja um 40 % weniger wiegen. Somit muss man die genaue Dauer ausrechnen.

Danke für deine Ideen, ich werde sie gleich mal versuchen, umzusetzen

Gruß

d_punkt · 27. Oktober 2010 um 12:02

Hallo,

Ja, das ist mir auch klar geworde, dass Die Gravitationskräfte
gleich sein müssen, damit der Körper schwerelos ist. Mit der
Mitternachtsformel könnte es sich durchaus berechnen lassen,
dass ist gar keine schlechte Idee, doch ich dachte eher an
Gleichsetzen der Kräfte, die Erde und Mond haben. Ich werde es
gleich mal ausprobieren.

Ja, die Kräfte müssen gleichgesetzt werden. Wichtig ist dabei, dass als Abstand zum Mond 384400km - r1 verwendet wird. Anschliessend nach r1 auflösen.

Ob es wirklich eine beliebige sein kann, weiß ich nicht, doch
von der Aufgabenstellung kann man dies ausschließen, denn der
Körper soll ja um 40 % weniger wiegen. Somit muss man die
genaue Dauer ausrechnen.

Die 40% scheinen im Ausgangsbeitrag zu fehlen, ermöglichen aber natürlich die Rechnung
Am Pol wirkt nur die Gravitationskraft. Am Äquator wirkt Gravitationskraft plus Zentrifugalkraft:

m g - m \omega^{2} r = 0.6 m g

Nach Omega auflösen ergibt die Winkelgeschwindigkeit.

Grüsse
d.

Hasenfu · 27. Oktober 2010 um 23:48

Hossa

1)„In welcher Zeit müßte sich die Erde um ihre Achse drehen,
damit ein körper am Äquator weniger wiegt, als an den polen?
re=6370 km, g=9,81m/s²“
-> Die Erdabplattung braucht nicht berücksichtigt zu werden!

Das passiert selbst dann, wenn sich die Erde gar nicht dreht. Zum einen befindet sich die Erde im Schwerefeld des Mondes, so dass am Äquator auch ohne Erddrehung eine geringere Anziehungskraft wirkt (Gezeitenkräfte).

Selbst wenn es keinen Mond gäbe, und sich die Erde nicht um ihre eigene Achse drehen würde, wäre die Gravitationskraft am Äquator geringer. In diesem Fall würde die Erde der Sonne immer die gleiche Seite zuweisen. Innerhalb eines Jahres, also während eines kompletten Umlaufs um die Sonne, dreht sich die Erde dabei jedoch 1-mal um ihre eigne Achse. Die dadurch erzeugte minimale Zentrifugalkraft würde den beschriebenen Effekt bereits verursachen.

2)„In welcher Entfernung r1 vom Erdmittelpunkt wird ein
zwischen Erde und MOnd befindlicher Körper schwerelos(Distanz
Mondmittelpkt-Erdmittelpkt. r=384400km, Mondmasse 1/81
Erdmasse)?“ Erdmasse ist ja 6*10^24

Die Gravitationskraft verschwindet im Schwerpunkt. Du musst also die Lage des gemeinsamen Schwerpunktes von Erde und Mond berechnen.

Dazu legst du die Erde der Einfachheit halber in den Ursprung deines Koordinantensystems. Der Schwerpunkt liegt dann bei:

s=\frac{M\cdot0+\frac{1}{81}\cdot M\cdot r}{\left(1+\frac{1}{81}\right)M}=\frac{\frac{1}{81}r}{\frac{82}{81}}=\frac{r}{82}=4687.805,\mbox{km}

Geht man also vom Erdmittelpunkt 4687.805km in Richtung Mond, ist man plötzlich schwerelos

Viele Grüße

Hasenfuß

d_punkt · 28. Oktober 2010 um 07:53

Hallo,

Das passiert selbst dann, wenn sich die Erde gar nicht dreht.
[…] Die dadurch
erzeugte minimale Zentrifugalkraft würde den beschriebenen
Effekt bereits verursachen.

Dafür müssen im Modell aber Sonne und Mond vorhanden sein, was üblicherweise nicht der Fall ist, weil sich sonst alle Modellrechnungen deutlich verkomplizieren. Und wie im anderen Ast geschrieben wurde, sollen es 40% Unterschied sein.

Die Gravitationskraft verschwindet im Schwerpunkt. Du musst
also die Lage des gemeinsamen Schwerpunktes von Erde und Mond
berechnen.

Worauf begründest Du diese Aussage?

Dazu legst du die Erde der Einfachheit halber in den Ursprung
deines Koordinantensystems. Der Schwerpunkt liegt dann bei:
[…]
Geht man also vom Erdmittelpunkt 4687.805km in Richtung Mond,
ist man plötzlich schwerelos

In der ersten Aufgabe waren ca. 6370 km als Erdradius angegeben. Das heisst also, man müsste in der Erde sein, um schwerelos zu sein? Das scheint unplausibel und lässt sich durch folgende Überlegung leicht widerlegen:
Die Gravitationskraft der Erde ist größer als die des Monds, da die Masse 81-mal größer ist. Damit also die G-Kraft des Monds die der Erde ausgleichen kann, muss man deutlich näher am Mond sein als an der Erde (sie verhält sich ja antiproportional zum Quadrat des Abstands). Die richtige Größenordnung liegt bei etwa 300000 km bis 310000 km (hatte es berechnet, aber die Aufschriebe nicht da).

Viele Grüsse
d.

Pontius · 28. Oktober 2010 um 12:19

Hallo,

Größenordnung liegt bei etwa 300000 km bis 310000 km (hatte es
berechnet, aber die Aufschriebe nicht da).

ich komme sogar auf 346000 km.

Gruß
Pontius

d_punkt · 28. Oktober 2010 um 13:12

Hallo,

das wäre immerhin in der selben Grössenordnung, aber immernoch ne ganz schöne Abweichung. Kannst Du evtl. meinen Rechenweg anschauen und ggf. korrigieren?

F = - \gamma \frac{m M}{r^2}

nehme ich als Gravitationskraft. Wenn ich nun M_E = 81 M_M einsetzen und den Abstand Erde-Mond als d bezeichne, komme´ich nach gleichsetzen auf

\frac{1}{r_1^2} = \frac{1}{81(d-r_1)^2}

und nach Umstellen und Umformen

\frac{80}{81} r_1^2 - 2dr_1 + d^2 = 0

Und das löse ich mit der Mitternachtsformel auf.

Ich rechne bei Gelegenheit mal nach.

Grüsse
d.

d_punkt · 28. Oktober 2010 um 14:18

Fehler gefunden
Hallo,

ich war zu doof, die Mitternachtsformel richtig zu kürzen.
Ca. 346000 km stimmen.

Grüsse
d.

Pontius · 28. Oktober 2010 um 14:33

Hallo,

\frac{80}{81} r_1^2 - 2dr_1 + d^2 = 0

Und das löse ich mit der Mitternachtsformel auf.

Warum umständlich, wenn es auch einfach geht?
Als Ergebnis deiner gemischt quadratischen Gleichung erhalte ich:
r1(1) = 345960km (und r1(2) = 432450km).
Ich habe es mir aber einfacher gemacht:
r1^2 = 81*(d-r1)^2
Wurzel ziehen auf beiden Seiten ergibt:
r1 = 9 * (d-r1)
10* r1 = 9 *d
r1 = 9/10 * d = 9/10 * 384400km
r1 = 345960km

Gruß
Pontius

VIKTOR_029fb4 · 28. Oktober 2010 um 14:34

Hallo,

Die Gravitationskraft der Erde ist größer als die des Monds,
da die Masse 81-mal größer ist. Damit also die G-Kraft des
Monds die der Erde ausgleichen kann, muss man deutlich näher
am Mond sein als an der Erde (sie verhält sich ja
antiproportional zum Quadrat des Abstands). Die richtige
Größenordnung liegt bei etwa 300000 km bis 310000 km

da gibt es wohl drei Punkte zwischen Erdmittelpunkt und Mondzentrum
mit ausgeglichener G-Kraft (G-Kraft-Wechsel) - oder ?
Einer nahe am Erdmittelpunkt, einer etwa nach Deiner Berechnung und einer in der Nähe des Mondzentrums.
Gruß VIKTOR

Martin · 28. Oktober 2010 um 14:35

Hallo,

\frac{1}{r_1^2} = \frac{1}{81(d-r_1)^2}

ist auch ohne Mitternachtsformel schnell erledigt:

\frac{(d - r)^2}{r^2} = \frac{1}{81}

\frac{d-r}{r} = \pm\frac{1}{9}

\frac{d}{r} = 1\pm\frac{1}{9}

Da r 1, ist die „–“-Lösung zu verwerfen.

r = d :\frac{1}{1 + \frac{1}{9}} = 0.9:d = 345960 :{\rm km}

Gruß
Martin

Martin · 28. Oktober 2010 um 15:08

Hallo,

da gibt es wohl drei Punkte zwischen Erdmittelpunkt und Mondzentrum
mit ausgeglichener G-Kraft (G-Kraft-Wechsel) - oder ?
Einer nahe am Erdmittelpunkt, einer etwa nach Deiner
Berechnung und einer in der Nähe des Mondzentrums.

genau, so ist es. Der Ansatz für die anderen beiden Punkte wäre auch schnell hingeschrieben, allerdings führt er nicht auf eine quadratische, sondern kubische Gleichung, die nicht so einfach zu lösen ist.

Gruß
Martin

PS: Ich habe mir just for fun mal schnell die Graphen von 81/6370³ x und 1/(384400 – x)² plotten lassen. Sie schneiden sich bei x ≈ 0.0215. Falls ich keinen Fehler gemacht habe, bedeutet das, dass der erdmittelpunktsnahe Schwerelosigkeitspunkt nur etwa 21.5 Meter (!) vom Erdmittelpunkt entfernt ist.

MyNarY · 28. Oktober 2010 um 15:20

Danke an alle, ihr habt mir sehr geholfen =)

habe jetzt auch einiges VErstanden, was über die Aufgabe hinaus ging

Gruß und nochmals danke

d_punkt · 28. Oktober 2010 um 18:24

Hallo,

ich habe den Polynomrechner auf http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm benutzt und komme auf die folgenden Werte für das Erdinnere bzw. Mondinnere (unter der Voraussetzung, dass es sich um Kugeln mit homogener Massenverteilung handelt):

Erdinneres: xE = 0.0209 km = 20.9 m
Mondinneres: xM = 0.0004 km = 4 m (bei rM = 1738km lt. Wikipedia)

Sieht zumindest spannend aus

Viele Grüsse
d.

VIKTOR_029fb4 · 28. Oktober 2010 um 23:26

Hallo Martin,

r = d :\frac{1}{1 + \frac{1}{9}} = 0.9:d = 345960 :{\rm km}

mal ne ganz dumme Frage.
Ist hier die „Fliehkraft“ eines Objektes in diesem Punkt schon
berücksichtigt ?
Die G-Kraft dort ist 0.
Die Gewichtskraft in dem bewegten System aber nicht.
Gut, ist hier nicht gefragt.
Aber der Gewichtskraft-Nullpunktes wird wohl näher zur Erde liegen.
(auf die Schnelle gedacht) Oder ?
Gruß VIKTOR

Martin · 29. Oktober 2010 um 12:36

Hallo Viktor,

Ist hier die „Fliehkraft“ eines Objektes in diesem Punkt schon
berücksichtigt ?

nein. Bisher war doch kein ω²r-Term oder ähnlich irgendwo zu sehen.

Aber der Gewichtskraft-Nullpunktes wird wohl näher zur Erde liegen.

Ja. Wenn das Objekt der Drehung des Mondes um die Erde (Umlaufdauer 27.32 Tage) nachfolgen soll, muss es von einer Zentripetalkraft auf die entsprechende Kreisbahn gezwungen werden. Da diese Zentripetalkraft zum Erdmittelpunkt gerichtet ist, muss die Erde eine stärkere Gravitationskraft auf das Objekt ausüben. Genau dann, wenn der „überschüssige“ Teil dieser stärkeren Gravitationskraft gleich der zu diesem Abstand passenden Zentripetalkraft ist, funktioniert die Sache.

Die Gleichgewichtsbedingung für den Schwerelosigkeitspunkt bei Berücksichtigung der Drehung des Mondes um die Erde lautet näherungsweise:

\gamma \frac{M_E}{r^2} - \gamma \frac{M_M}{(d - r)^2} = \omega^2 r

Vorher, d. h. ohne Berücksichtigung der Mond-um-Erde-Drehung, stand auf der rechten Seite 0.

Die Gleichung stimmt nicht ganz, weil Das Rotationszentrum nicht der Erdmittelpunkt, sondern der gemeinsame Schwerpunkt von Erde und Mond ist. Der Fehler ist aber tolerierbar.

Wenn Du Dir die Zahlenwerte aufschreibst (Einheiten bitte passend dazudenken)…

γ = 6.674E-11
d = 384400000
M_E = 5.97E24
M_M = 7.35E22
ω² = (2 π / (60*60*24*27.32))² = 7.0855E-12

…kannst Du Dir die Gleichung z. B. von Wolfram Alpha lösen lassen:

6.674E-11 (5.97E24/r^2 - 7.35E22/(384400000-r)^2) = 7.0855E-12 r

http://www.wolframalpha.com/input/?i=6.674E-11+%285…

Das Ergebnis ist 326012 km, und mit „= 0“ 346008 km. Berücksichtigung des Mond-um-Erde-Drehs macht also etwa 6 % (346/326 = 1.06…) Unterschied aus.

Gruß
Martin

VIKTOR_029fb4 · 29. Oktober 2010 um 14:07

Hallo Martin,

Aber der Gewichtskraft-Nullpunktes wird wohl näher zur Erde liegen.

Genau dann, wenn der „überschüssige“ Teil
dieser stärkeren Gravitationskraft gleich der zu diesem
Abstand passenden Zentripetalkraft ist, funktioniert die
Sache.

so dachte ich es mir und hätte den Lösungsweg auch in dieser
Richtung gesucht.

Die Gleichgewichtsbedingung für den Schwerelosigkeitspunkt bei
Berücksichtigung der Drehung des Mondes um die Erde lautet
näherungsweise:

\gamma \frac{M_E}{r^2} - \gamma \frac{M_M}{(d - r)^2} =
\omega^2 r

Die Gleichung stimmt nicht ganz, weil Das Rotationszentrum
nicht der Erdmittelpunkt, sondern der gemeinsame Schwerpunkt
von Erde und Mond ist. Der Fehler ist aber tolerierbar.

Es kommt darauf an, welche Größenordnung tolerierbar ist.Immerhin
ist der zu berücksichtigende Abstand ca 1,2% kleiner.

Das Ergebnis ist 326012 km, und mit „= 0“ 346008 km.
Berücksichtigung des Mond-um-Erde-Drehs macht also etwa 6 %
(346/326 = 1.06…) Unterschied aus.

Interessant wird es, wenn ich den Gewichtsnullpunkt in der Nähe des
Erdmittelpunktes oder des Mittelpunktes des Mondes suche.
Nicht so sehr wegen der Größenordnung der Abweichung vom G-Nullpunkt
sondern wegen der Lage.Dieser müßte wohl „jenseits“ dieser Punkte oder
gar der Zentrumspunkte zu finden sein.
Die (exakte) Berechnung wird ja auch viel schwieriger wegen der
Lage innerhalb der Schweremasse.
Ansonsten vielen Dank für Deine Einlassungen.
Gruß VIKTOR

Martin · 29. Oktober 2010 um 21:56

Hallo,

Es kommt darauf an, welche Größenordnung tolerierbar
ist.Immerhin ist der zu berücksichtigende Abstand ca 1,2% kleiner.

OK, der Bahnradius ist nicht r sondern r – s, wenn ich mit s den Schwerpunkt-Erdmittelpunkt-Abstand bezeichne. Damit lautet die exakte Gleichung

\gamma \frac{M_E}{r^2} - \gamma \frac{M_M}{(d - r)^2} =
\omega^2 (r - s)

s ergibt sich aus M_E s = M_M (d – s) zu

s = \frac{1}{\frac{M_E}{M_M} + 1}:d = 4675 :{\rm km}

Eingabezeile für Wolfram Alpha:

6.674E-11 (5.97E24/r^2 - 7.35E22/(384400000-r)^2) = 7.0855E-12 (r - 4675000)

Lösung: 326426 km. Der Fehler war also nur etwa 0.13 % groß.

Interessant wird es, wenn ich den Gewichtsnullpunkt in der
Nähe des Erdmittelpunktes oder des Mittelpunktes des Mondes suche.

Alles easy wie gehabt: Gleichungen aufstellen und mit nem Solver am PC numerisch lösen. Kannst Du aber mal selbst machen, wa?

Nicht so sehr wegen der Größenordnung der Abweichung vom G-Nullpunkt
sondern wegen der Lage.Dieser müßte wohl „jenseits“ dieser Punkte
oder gar der Zentrumspunkte zu finden sein.

Keine Ahnung was Du damit meinst. Drück Dich mal klar aus.

VIKTOR_029fb4 · 30. Oktober 2010 um 02:17

Hallo Martin,

Interessant wird es, wenn ich den Gewichtsnullpunkt in der
Nähe des Erdmittelpunktes oder des Mittelpunktes des Mondes suche.

Alles easy wie gehabt: Gleichungen aufstellen und mit nem
Solver am PC numerisch lösen. Kannst Du aber mal selbst
machen, wa?

Es war dies keine Aufforderung an Dich, mir das vorzurechnen.
Ich bin zwar nicht so geübt wie Du, bekomme es aber, wenn notwendig
oft hin.
Mir geht es hier garnicht so um die genaue Lösung sondern um qualitative Überlegungen wie dies:

Nicht so sehr wegen der Größenordnung der Abweichung vom G-Nullpunkt
sondern wegen der Lage.Dieser müßte wohl „jenseits“ dieser Punkte
oder gar der Zentrumspunkte zu finden sein.

Keine Ahnung was Du damit meinst.

Wirklich ?
Es gibt Wirkungspunkte auf der Verbindungsachse zwischen den
Mittelpunkten der Gestirne des Doppelsternsystems und außerhalb.
(jenseits, auf der Achse).War das Schwer ?
Und so einfach sind die (exakten) Lösungen hier auch nicht zu finden
da die hier angesprochenen Punkte innerhalb der Kugelmassen liegen.
Gruß VIKTOR