irgendiwe bin ich hier grade mit einer seltsamen Aufgabe konfortniert worden. Leider liegt meine Schulzeit schon so lange zurück, dass ich keinen Schimmer habe wie ich diese Aufgabe lösen kann.
Es geht darum dass eine Kugel von einem 60m hohene Turm fallen gelassen wird uns ich soll bestimmen wann die Kugel auf dem Boden auftrifft.
Als zusatz sollte auch noch berechnet werden, in wie weit sich die Fallzeit verkürzt, wenn die Kugel mit 5m/sek runter geworfen wird…
Reibungseffekte und Luftwiderstand können ausser Acht gelassen werden…
Mir ist schon klar dass das hier ggf. nicht der richtige Ort ist um so eine Art „Schulfrage“ zu stellen, aber ich weiß leider nicht wen ich sonst fragen kann… Vielen Dank für eure Hilfe.
die Graviation sorgt dafür, dass sich Kugel und Erde aufeinander zubewegen. Da die Erde aber wesentlich schwerer ist als die Kugel und wir gemessen am Erdradius nur geringe Höhen betrachten, ist die Beschleunigung, welche die Kugel erfährt, nahezu konstant (nämlich g = 9.81).
Unser Ziel ist es die Höhe x(t) abhängig von der Zeit angeben zu können, als Startbedingungen haben wir
x_0 = 60 m,\ \dot{x}_{0, a} = 0 \frac{m}{s},\ \dot{x}_{0, b} = -5 \frac{m}{s} ,
die Beschleunigung ist zeitlich konstant \ddot{x} (t) \equiv -9.81 \frac{m}{s^2} .
Die Punkte über dem x bezeichnen Ableitungen des Ortes nach der Zeit, die erste Ableitung ist die Geschwindigkeit, die zweite die Beschleunigung. Die Umkehrung der Ableitung ist die Integration, um von Geschwindigkeit und Beschleunigung auf den Ort zu gelangen müssen wir sie also über die Zeit integrieren. Nach dem Superpositionsprinzip überlagern sich die einzelnen Bewegungen (Kugel hängt in 60 m Höhe in der Luft, Kugel bewegt sich mit konstant 5 m/s nach unten, Kugel wird mit g beschleunigt) ungestört, so dass wir diese einfach aufaddieren können:
Wir erhalten also eine quadratische Gleichung für den Ort der Kugel abhängig vond er Zeit. Nun möchten wir t_{max} so bestimmen, dass x(t_{max}) = 0 , also den Zeitpunkt, bei dem die Kugel auf dem Boden landet. Dazu kann man z.B. die pq-Formel benutzen, die Lösung, bei der t positiv ist, lautet:
Es geht darum dass eine Kugel von einem 60m hohene Turm fallen
gelassen wird uns ich soll bestimmen wann die Kugel auf dem
Boden auftrifft.
Reibungseffekte und Luftwiderstand können ausser Acht gelassen
werden…
s=g*t²/2
s= Fallstrecke/Fallhöhe (m)
g= Erdbeschleunigung (9,81m/s²)
t= Zeit (s)
t= (2*s/g)^0,5
Als zusatz sollte auch noch berechnet werden, in wie weit sich
die Fallzeit verkürzt, wenn die Kugel mit 5m/sek runter
geworfen wird…
Reibungseffekte und Luftwiderstand können ausser Acht gelassen
werden…
s=v²/(2*g)
v= Geschwindigkeit (m/s)
s= Fallstrecke (m)
g= 9,81 (m/s²)
Daraus s= 1,274 (m)
Aus der Formel im vorigen Beitrag kannst du wiederum die Zeit für diese Fallstrecke errechnen:
0,51 (s)
Wird die Kugel also mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 5 (m/s) hinabgeworfen, verkürzt sich die Fallzeit um 0,51 (s).
Es geht darum dass eine Kugel von einem 60m hohene Turm fallen
gelassen wird uns ich soll bestimmen wann die Kugel auf dem
Boden auftrifft.
Als zusatz sollte auch noch berechnet werden, in wie weit sich
die Fallzeit verkürzt, wenn die Kugel mit 5m/sek runter
geworfen wird…
da Du nach eigener Einschätzung keine Ahnung hast und Dir deshalb
einmal eine Integralrechnung! um die Ohren gehauen wurde und das
andere Mal nur die halbe (leichtere) Lösung hier die Formel.
Sie ist zusammengesetzt aus dem Beschleunigungsanteil a und dem
Geschwindigkeitsanteil v für den Weg - alle Parameter sind bekannt.
Unbekannt ist die Zeit t.
s=v*t+a*t^2/2 (Lehrbuchformel, aber auch logisch)
(a=Beschleunigung, hier =9,81m/s^2)
Du suchst zwei Ergebnisse, einmal für v=0 und dann für v=5.
Ich gehe davon aus, daß Dir die Umstellung der Formel
explizit nach t nicht geläufig und es auch nicht besser wird, Dich
auf entsprechende Lehrbücher zu verweisen.
Deshalb hier der Weg zu einer lösbaren Form der hier gegebenen
quadratischen Gleichung.
Die Gleichung ist zuerst auf die „Normalform“ umzustellen, die ist
k*x^2+p*x+q=0
x ist steht hier für die Unbekannte t, p und q sind fixe Zahlen,
welche bei der Umstellung „rest“ bleiben; p oder q können auch 0
sein,k muß 1 sein (für die leichter lösbare Normalform).
Du mußt deshalb obige Formel(für s) so umstellen, daß k=1 wird.
Der obige Gleichungsanteil a*t^2/2 muß also mit 2/a multipliziert
werden damit t^2 rest bleibt.Alle anderen „Werte“ müssen dann mit
dem gleichen Faktor multipliziert werden.
Es kommt dann - umgestellt - die folgende Normalform der Gleichung
heraus
t^2+(v*2/a)*t-s*2/a=0
Entsprechend der Normalform ist also p=v*2/a und q=-s*2/a
Für die Lösung der Normalform der quadratischen Gleichung gibt es
explizite Formeln.
Diese kannst Du selbst finden z.Bsp.hier http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung#…
Gruß VIKTOR
PS.
Das Ergebnis von quazee ist natürlich richtig.
**:Ich gehe davon aus, daß Dir die Umstellung der Formel
explizit nach t nicht geläufig und es auch nicht besser wird,
Dich
auf entsprechende Lehrbücher zu verweisen.**
Deshalb hier der Weg zu einer lösbaren Form der hier gegebenen
quadratischen Gleichung.
Die Gleichung ist zuerst auf die „Normalform“ umzustellen, die
ist
k*x^2+p*x+q=0
x ist steht hier für die Unbekannte t, p und q sind fixe
Zahlen,
welche bei der Umstellung „rest“ bleiben; p oder q können
auch 0
sein,k muß 1 sein (für die leichter lösbare Normalform).
Du mußt deshalb obige Formel(für s) so umstellen, daß k=1
wird.
Der obige Gleichungsanteil a*t^2/2 muß also mit 2/a
multipliziert
werden damit t^2 rest bleibt.Alle anderen „Werte“ müssen dann
mit
dem gleichen Faktor multipliziert werden.
Es kommt dann - umgestellt - die folgende Normalform der
Gleichung
heraus
t^2+(v*2/a)*t-s*2/a=0
Entsprechend der Normalform ist also p=v*2/a und q=-s*2/a
Für die Lösung der Normalform der quadratischen Gleichung gibt
es
explizite Formeln.
Dieser Weg ist für den Fragenden siche sehr viel „leichter“ zu verstehen.
ich gebe zu, dass es für einen Unbeteiligten nicht einfach aussieht, aber der Punkt ist, dass man den Faktor 1/2 in -g t^2 /2 nur versteht, wenn einem klar ist, dass die Beschleunigun die zweite Ableitung ist bzw hier zweimal integriert wurde. Die Formel einfach hinzuschreiben ist natürlich auch ein Weg. Ist doch schön wenn der Fragesteller hier verschiedene Antworten bekommt, von denen er sich die verständlichste aussuchen kann
andere Mal nur die halbe (leichtere) Lösung hier die Formel.
Zwei halbe Antworten sind auch insgesamt ein Ganzes und die Lösung ist richtig-)
Beide Fragen wurden beantwortet und zwar auf eine viel anschaulichere Weise als bei Deiner richtigen (aber komplizierteren) Lösung.
Wer als Unkundiger nicht nach der Zeit auflösen kann, wird sich bei einer Quadr. Gleichung vielleicht auch schwertun.
Also ich hab’s mit den halben Lösungen besser begriffen.
Zwei halbe Antworten sind auch insgesamt ein Ganzes und die
Lösung ist richtig-)
die Antwort des Fragestellers zur „halben Antwort“: entschuldigung…aber ich versteh es leider imemrnoch nicht
Wer als Unkundiger nicht nach der Zeit auflösen kann, wird
sich bei einer Quadr. Gleichung vielleicht auch schwertun.
Kaum.Ableitungen von Integralen sind eine andere Qualität.
Die Lösung der quadr.Gleichung für die Normalform ist explizit
gegeben.Dem Fragesteller ist die Umstellung dazu offensichtlich
nicht geläufig.
Also ich hab’s mit den halben Lösungen besser begriffen.
Mag sein, Du hast entsprechende Vorkenntnisse. Der Fragesteller
mußte erst dahin geführt werden, damit er versteht.
Eine Komplettlösung, wie sie normalerweise auch benutzt wird, war
hier angebracht.Komplett(mit Erläuterungen) ist nicht kompliziert.
