Berechnung eines Massenträgheitsmoments

Technik Mechanik & Konstruktion
#1

Ich stehe zur Zeit vor der Berechnung des folgenden Problems und möchte absolut sicher gehen was das Erbgebnis / den Ansatz betrifft.

Zu bilden ist das Massenträgheitsmoment eines Quaders mit exzentrischer Durchgangsbohrung. Danach müsste ich das Resultat noch in die Schwerachse verschieben, also mit dem Satz von Steiner abwandeln.

Wie gehe ich genau vor?

Das Moment des Quaders beträgt:

J = (m/12) * (a² + b²)

Das Moment der Bohrung:

J = m/2 * r²

Aber wie setze ich die Einzelmomente richtig zusammen?

#2

Hallo Ronin,

die ganze Geschichte ist bei mir schon länger her, daher ohne Gewähr.

Ein Massenträgheitsmoment bezieht sich immer auf eine Drehachse. Ich gehe jetzt mal davon aus, dass sich diese in deinem Fall in der Mitte des Quaders befindet. Also dort wo der Schwerpunkt wäre, wenn die Durchgangsbohrung nicht die Masseverteilung stören würde. Die Rotationsachse senkrecht zur Oberfläche des Quaders. Wenn es anders ist, sag bitte Bescheid.

Was du nun machen musst: du nimmst das Massenträgheitsmoent des Quaders und ziehst das um den Steiner-Anteil erweiterte Massenträgheitsmoment der Durchgangsbohrung ab.

Durch Steiner-Anteil erweitertes Massenträgheitsmoment der Durchgangsbohrung:

J* = m-Loch/2 * r² + m-Loch * s²

s ist dabei der Abstand der Achse der Durchgangsbohrung zur Rotationsachse und zwar auf direktem Weg. m-Loch ist die Masse, die die Bohrung hätte, wenn sie aus dem gleichen Material wie der Quader wäre, also das „fehlende“ Gewicht.

folglich ergibt sich insgesamt:

J-gesamt = (m-Quader/12) * (a² + b²) - (m-Loch/2 * r² + m-Loch * s²)

Wichtig: m-Quader ist die Masse, die der Quader hätte, wenn die Bohrung nicht (!) darin wäre. Also quasi a * b * c * Dichte.

Dass das Trägheitsmoment der Bohrung abgezogen werden muss, sollte einleuchten, wenn du an eine Fahrradfelge denkst. Die Speichen sorgen dafür, dass ganz viele „Löcher“ in der drehenden Scheibe sind --> geringerers Massenträgheitsmoment. Wäre die Felge vollmassiv, wäre es deutlich schwieriger, diese anzutreiben oder zu bremsen.

Ich hoffe das hilft dir ein wenig…

#3

Erstens Danke für die ausführliche Antwort… Bin mir immer beim Vorzeichen des Steiner-Anteils unsicher.

Hätte das ganze im Grunde gleich angelegt.

Dein J-gesamt müsste ich für meine Anwendung dann jedoch noch mal Steinern.

Also denke ich mal:

J-resultat = J-gesamt + (m-Quader - m-Loch)* d²

wobei d dem direkten Abstand in die letztendliche Schwerachse entspricht.

#4

Deine Gleichung für J-resultat würde ich auch so aufstellen.

Du kannst das ganze ja auch überprüfen, indem du den Zwischenschritt über J-gesamt überspringst.

Es müsste nämlich eigentlich das gleiche herauskommen, wenn du folgendes rechnest:

J-resultat = ((m-Quader/12) * (a² + b²) + m-Quader * x²) - (m-Loch/2 * r² + m-Loch * y²)

Wobei x der Abstand vom Schwerpunkt des Quaders zur Rotationsachse und y der Abstand von Mittelpunkt der Bohrung zur Rotationsachse ist.

Wenn du genug Zeit hast, kannst du ja beide Wegen mal gehen.

Wegen der Vorzeichen: ich würde mir im Zweifelsfall (bei komplexeren Aufgaben) eine Tabelle erstellen, in der du die Massenträgheiten aller Elemente bezogen auf eine gleiche Rotationsachse (also inkl. Steiner-Anteil) aufschreibst. In der Tabelle kommen de facto dann immer nur positive (also aufaddieren) Steiner-Anteile vor. Erst wenn du alle einzelnen Trägheitsmomente hast, fängst du mit dem addieren bzw. subtrahieren der einzelnen Massenträgheitsmomente an. Bei „Füllungen“ --> addieren. Bei fehlendem Material --> subtrahieren. Wenn du ordentlich mit Klammern rechnest, sollte dann eigentlich wenig schief gehen können.

#5

Sorry,…

#6

Hallo,
das habe ich ca. 25 Jahre nicht mehr gemacht, aber ich würde folgendermaßen anfangen:
Erst den Gesamtschwerpunkt ermitteln. Dann beide Trägheitsmomente auf die durch den Schwerpunkt gehende Achse erechnen. Anschließend daß eine Trägheitsmoment vom anderen abziehen.

Gruß
Klaus