Berechnung eines Schnittpunktes

Zentriefugal · 1. Juli 2011 um 12:21

Hallo liebe WWW Community,

ich habe ein kleines Problem, bei dem ich gerade nicht weiter komme. Die Antwort kann garnicht so schwer sein aber ich komme einfach nicht drauf und deshalb dachte ich mir ich frage einfach mal schnell hier nach.

Ich habe 2 Linien die die sich kreuzen. Beide Linien haben für Anfang und Ende X und Y Koordinaten. Nun möchte ich gerne berechnen, wo genau der Schnittpunkt der beiden Linien liegt.

Beispielbild:
http://img42.imageshack.us/img42/8752/schnittpunkt.png

Linie 1 (blau)
Startpunkt
X: 115,3
Y: 2186,9

Endpunkt
X: 118,2
Y: 2102,4

Linie 2 (pink)
Startpunkt
X: 115,7
Y: 2140,6

Endpunkt
X: 120,3
Y: 2097

Wie gesagt, ich habe schon alles Mögliche versucht und verschiedene Internetseiten konsultiert… ich komme einfach nicht auf die Lösung.

Es wäre nett, wenn mir da jemand weiter helfen könnte.

Danke
Mike

Volker_Malchow · 1. Juli 2011 um 12:52

Moin Mike,

Wie gesagt, ich habe schon alles Mögliche versucht und
verschiedene Internetseiten konsultiert…

Hm, es wäre gut zu wissen was genau Du unternommen hast, vermtl. lag es nur an den falschen Suchbegriffen.

Du solltest erstmal aus den beiden Punktepaaren zwei Geradengleichungen aufstellen. „Schnittpunkt“ heißt, dass sowohl x- als auch y-Wert gleich sind.

Schau mal hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Geradengleichung#Zweipu…

Vllt. hilft Dir das ja schon.

Gruß und ein schönes WE.

Volker

Safrael · 1. Juli 2011 um 12:53

Hi,

Du stellst die Geradengleichungen der beiden Geraden auf.
2Punkte -> eine Gerade
Du berechnest den Schnittpunkt der beiden Geraden.
einsetzungsverfahren/gleichsetzungsverfahren/additionsverfahren

MFG

Versuch es zu lösen wenn Du Schwierigkeiten hast sag uns wie weit du gekommen bist und woran es hapert.

Florian333 · 1. Juli 2011 um 12:53

Hallo

Das ist in der Tat eine leichte Aufgabe.
Ich geb dir mal die zwei Formeln hier:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1) Punkt1 der Gerade (x1|y1)
Punkt2 der Gerade (x2|y2)

y = m (x - x1) + y1

Wenn du die zwei Geradengleichungen gefunden hast, musst du sie nur noch gleichsetzen, aber das Grundwissen ist bei dir bestimmt noch da.

Gruß
Florian

Hasenfu · 1. Juli 2011 um 13:27

Hossa Mike

Ich habe 2 Linien die die sich kreuzen. Beide Linien haben für
Anfang und Ende X und Y Koordinaten. Nun möchte ich gerne
berechnen, wo genau der Schnittpunkt der beiden Linien liegt.

Dazu kannst du die Geradengleichungen von beiden Linien aufstellen und diese gleichsetzen. Die Geradengleichung für eine Linie durch die Punkte A(x₁,y₁) und B(x₂,y₂) lautet:

y(x)=y_1+\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\left(x-x_1\right)

Der Bruch gibt die Steigung der Geraden an. Stell dir vor, du stehst auf dem Punkt A(x₁,y₁). Nun gehst du auf der x-Achse zur neuen Koordinate x. Dabei bist du um das Stück (x-x₁) nach rechts gegangen. Diese Länge musst du mit der Steigung (also dem Bruch) mutliplizieren, um zu berechnen, wie weit du dabei auf der Funktion nach oben gegangen bist. Diesen Weg nach oben musst du zur Ausgangsposition y₁ addieren.

Linie 1 (blau)
Startpunkt
X: 115,3
Y: 2186,9

Endpunkt
X: 118,2
Y: 2102,4

y_b(x)=2186.9+\frac{2102.4-2186.9}{118.2-115.3},\left(x-115.3\right)=2186.9-29.137931\cdot\left(x-115.3\right)

Linie 2 (pink)
Startpunkt
X: 115,7
Y: 2140,6

Endpunkt
X: 120,3
Y: 2097

y_p(x)=2140.6+\frac{2097-2140.6}{120.3-115.7},\left(x-115.7\right)=2140.6-9.478261\cdot\left(x-115.7\right)

Wenn du die beiden Geradengleichungen jetzt gleichsetzt, bestimmst du die Koordinate x, bei der beide Geraden dieselbe y-Koordinate haben, also den Schnittpunkt:

2186.9-29.137931\cdot\left(x-115.3\right)=2140.6-9.478261\cdot\left(x-115.7\right)

5546.503-29.137931,x=3237.235-9.478261,x

19.65967,x=2309.268

x=117.46

Den zugehörigen y-Wert erhälst du durch Einsetzen dieses x-Wertes in eine der beiden Geradengleichungen. Schließlich ergibt sich der gesuchte Schnittpunkt:

S(117.46,|,2123.96)

Viele Grüße

Hasenfuß

Chief_Bloody_Beefsteak · 1. Juli 2011 um 13:29

Ugh.

Ich nehme mal etwas einfacherere Anfangs- und Endpunkte, das Wichtige ist ja die Methode.

Also, Strecke g mit P(1/1) und Q(5/9); Strecke h mit R(0/3) und S(6/0).

Die Gleichung für Strecke g bekommst du, indem du die Steigung der Geraden ermittelst (y2-y1)/(x2-x1) = (9-1)/(5-1)=8/4=2, und dann noch ausrechnest, wo die Gerade die y-Achse schneidet - dazu nimmst du die x-Koordinate von P und gehst 1 nach links, mit der Steigung 2 musst du 2 vom y-Wert bei P abziehen und erhältst den Punkt (0/-1). Dann ist die Gleichung für die erste Gerade g = 2 x - 1.

Das gleiche für h ergibt als Steigung (0-3)/(6-0)=1/2. Und den y-Achsenabschnitt hast du schon, die 3 nämlich von Punkt R. Damit hat h die Gleichung h = 1/2 x + 3.

Der Schnittpunkt von beiden liegt da, wo g und h das gleiche Ergebnis haben, also

2 x - 1 = 1/2 x + 3 | - 1/2 x
3/2 x - 1 = 3 | + 1
3/2 x = 4 | : 3/2
x = 8/3

Dieses x setzest du in eine der beiden Gleichungen ein, ich nehme die von g:

2 * 8/3 - 1 = 16/3 - 3/3 = 13/3

Der Schnittpunkt der beiden Strecken hat also die Koordinaten ((8/3)/(13/3)). Du musst nur darauf achten, dass sich die Strecken auch wirklich innerhalb der Definition schneiden und nicht irgendwo in der Pampa (wenn man die Strecken zu Geraden oder Halbgerade macht).

Aga,
CBB

Zentriefugal · 1. Juli 2011 um 14:00

Ich gebe mal nen Stern für die wohl beste Antwort. Leider verstehe ich aber auch davon nur etwa 30%

In der ersten Formel rechnest Du

2186,9 - 29,137931 * (x - 115,3)

Was ist x und wo kommt es her?

Auch die Gleichsetzung am Ende mache einen für mich unerklärlichen Sprung, genau wie das Ergebnis. 117,46 ist richtig, das weiß ich aber wie Du da jetzt drauf gekommen bist!? Ich habe keine Ahnung.