Berechnung im Raum

Wissenschaft Physik
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Hallo.

Mein Schulzeit ist schon länger her. Deshalb brauche ich hilfe. Ich habe drei Punkte im Raum. Diese 3 Punkte sollen einen Kreis definieren. Ich muß jetzt einen Kresimittelpunkt berechnen. Auf dem Kreisausschnitt, der durch die 3 Punkte definiert ist, sollen n-Punkte berechnet werden.

A ->Anfangspunkt
B ->Mittelpunkt des Kreisbogen
E ->Endpunkt des Kresibolgen.

Bitte nicht alles theoretisch erklären, ich benötige Formeln die nah vollziehen kann.

Ich hatte begonnen mir die Punkte als Eckpunkte eines Dreiecks zu denken und die Länge der Katheten zu berechnen. Danach wolle ich den Außenkresi berechnen um auf den Radius des Kreises zu bekommen. Bloß komme ich hier nicht weiter.
Ich habe jetzt den Radius und als Mittelpunktsgleichung habe ich
r²=(xa-xe)²+(ya-ye)²+(za-ze)²

Das habe ich für alle 3 Punkte. Bloß bekomme ich die 3 unbekannten nicht raus?

Kann mir jemand dabei helfen?

Danke Oli

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Hallo.

Mein Schulzeit ist schon länger her. Deshalb brauche ich
hilfe. Ich habe drei Punkte im Raum. Diese 3 Punkte sollen
einen Kreis definieren. Ich muß jetzt einen Kresimittelpunkt
berechnen. Auf dem Kreisausschnitt, der durch die 3 Punkte
definiert ist, sollen n-Punkte berechnet werden.

A ->Anfangspunkt
B ->Mittelpunkt des Kreisbogen
E ->Endpunkt des Kresibolgen.

…

Kann mir jemand dabei helfen?

Na klar doch! Hallo Oli, übrigens! :wink:

Die Koordinaten der Punkte seien mal A = (a1, a2), B = (b1, b2) und schließlich E = (e1, e2).

Zuerst jetzt mal die Konstruktion, dann die Rechnung:

  1. Zeichne die Strecke AB von A nach B.

  2. Errichte eine Mittelsenkrechte auf dieser Strecke.

  3. Zeichne die Strecke AE von A nach E.

  4. Errichte eine Mittelsenkrechte auf dieser Strecke.

  5. Der Schnittpunkt dieser beiden Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt des gesuchten Kreises.

Jetzt mal zu Formeln:

  1. Die Strecke AB hat die Form
    x = A + lambda * (B - A)
    mit lambda = 0…1.

  2. Die Mittelsenkrechte ist diejenige Gerade, die durch die Mitte von AB geht, also durch
    xm = (A + B) / 2
    und senkrecht auf AB steht, also in Richtung r = (r1, r2) mit r . (B - A) = 0,
    oder wegen B - A = (b1 - a1, b2 - a2) zum Beispiel r = (b2 - a2, a1 - b1).
    Damit hat die Mittelsenkrechte die Gleichung
    y = (A + B) / 2 + mu * (b2 - a2, a1 - b1)
    mit mu irgendeine (reelle) Zahl.

  3. Dasselbe mit AE…

  4. … ergbibt
    z = (A + E) / 2 + nu * (e2 - a2, a1 - e1).

  5. Schnittpunkt ermitteln heißt Gleichsetzen der Geraden-Gleichungen aus 2) und 4):

(A + B) / 2 + mu * (b2 - a2, a1 - b1) = (A + E) / 2 + nu * (e2 - a2, a1 - e1)

Das sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Man bekommt 'raus:

1 (e1-b1)*(a1-b1) - (e2-b2)*(b2-a2)
nu = - * ---------------------------------
2 (a1-e1)*(b2-a2) - (e2-a2)*(a1-b1)

Das wirft man nun in die Gleichung 4), um den eigentlichen Mittelpunkt zu bestimmen, und erhält eine Formel, die etwas häßlich ist, und die ich daher hier verschweigen will. :wink:

Besser man rechnet erst nu als Zahl aus, und setzt dann konkret in 4) ein.

Beispiel: Seien A = (1, -2), B = (5, 2), E = (-3, 2).

Dann ist die Mittelsenkrechte auf AB
y = (A + B) / 2 + mu * (b2 - a2, a1 - b1)
= (3, 0) + mu * (4, -4).

Die Mittelsenkrechte auf AE ist
z = (A + E) / 2 + nu * (e2 - a2, a1 - e1)
= (-1, 0) + nu * (4, 4).

Gleichsetzen liefert das Gleichungssystem

4 * mu - 4 * nu = -4
-4 * mu - 4 * nu = 0

oder

mu - nu = -1
mu + nu = 0

oder mu = -1/2, nu = 1/2. Einsetzen von nu = 1/2 in z liefert
m = (-1, 0) + 1/2 * (4, 4) = (-1 + 2, 0 + 2) = (1, 2).

Der Mittelpunkt des Kreises ist also (1, 2).

Den Radius kann man nun berechnen, indem man den Abstand zwischen dem Mittelpunkt und einem beliebigen der gegebenen Punkte ausrechner (er ist 4) – die Punkte sind ja per Konstruktion alle gleich weit vom Mittelpunkt des KREISES weg!

Ich hoffe, das hilft dir!

Chris

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Hallo Chris.
Danke für Deine Hilfe.
Die Punkte haben 3 Koordinaten (x;y;z). Deshalb wird das ganze ein bisschen unbersichtlicher. Das ganze muß ich später programmieren, deshalb habe ich kein festen Werte, kann es nicht Konstruieren und nur schwer zsammen fassen.

Ich wollte es die 3 Koordinaten als Eckpunkte eines Dreieckes sehen und die Katheten ausrechnen. Über das Dreieck habe ich mir den Radius des Außenkreisesberechnet. Die Daten habe ich auch noch hinbekommen.
Nur die 3 Gleichungen mit 3 unbekannten aufzulösen, da habe ich im Moment mein Problem:
A(xa;ya;za)
B(xb;yb;zb)
E(xe;ye;ze)
M(xm;ym;zm) Mittelpunkt des Kreises

r²=(xa-xm)²+(ya-ym)²+(za-zm)² Abstand Punkt 1 zum Mittelpunkt des Kreises
r²=(xb-xm)²+(yb-ym)²+(zb-zm)² Abstand Punkt 2 zum Mittelpunkt des Kreises
r²=(xe-xm)²+(ye-ym)²+(ze-zm)² Abstand Punkt 1 zum Mittelpunkt des Kreises

Hast Du einen Vorschlag, wie das schnell und einfach umzustellen ist?

Oli

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Hallo Oli,

wie viel Dimensionen du hast, ist ohne Belang, da ein (als Kurve) eindimensionaler Kreis immer durch drei Punkte eindeutig beschrieben ist, solange diese nicht linear abhängig sind.

Geh’ Schritt für Schritt wie in meiner „Anleitung“ vor, die gilt auch für 3d. Mußt natürlich an einigen Stellen selber ein paar Anpassungen vornehmen, aber das schaffst du schon selbst.

Wenn du das aber nicht verstanden hast, dann frag’ einfach mal konkret, was du nicht verstanden hast. Etwas zu programmieren, das man nicht verstanden hat, ist nicht gut, und das würde ich auch nicht unterstützen.

Frage zu deinem Vorgehen: Warum willst du unbedingt nichtlineare Gleichungen lösen,wenn du das auch ohne die machen kannst?

Chris