Hallo zusammen.
Ich soll über den Weg g = [-1 , -i , 1 , i , -1] das Integral über g
Int( 1 / z) dz berechnen.
Kommt hier 0 heraus, da es ein geschlossener Weg ist?
Das kann man dann aber sicherlich auch noch berechnen, habt ihr da eine Parametrisierung für mich?
Oder wie würdet ihr das Integral berechnen?
Viele Grüße
Disap
Hallo,
Das kann man dann aber sicherlich auch noch berechnen, habt
ihr da eine Parametrisierung für mich?
hast Du ein Problem damit, z. B. eine Funktion z(t) zu finden, die für t = 0 den Funktionswert –1 und für t = 1 den Funktionswert –i annimmt?
Gruß
Martin
Servus Martin.
hast Du ein Problem damit, z. B. eine Funktion z(t) zu finden,
die für t = 0 den Funktionswert –1 und für t = 1 den
Funktionswert –i annimmt?
Was genau meinst du mit zum Beispiel?
Ich habe den Weg mal skizziert mit RE- und IM-Achsen. Das ergibt dann eine Raute, zu der ich auch vier Fuktionen aufstellen kann, nämlich
it+1
it-1
-it+1
-it-1
Nach deinem Vorschlag ist z(t) = -it-1
Insgesmat brauche ich doch jetzt vier Integrale, beim Integrieren selbst scheitere ich jetzt aber, denn ich kenne die Formel
Int f(z) über g = Int f(z(t)) * z’(t) dt
z’(t) = -i
Also
Int 1/(-it-1) * (-i)
Was wären hier eigentlich die Integrationsgrenzen? Wäre es hier 0 und 1 oder -1 und -i?
Stimmt mein Ansatz denn überhaupt (mal abgesehen davon, dass ich die anderen drei Integrale dann noch dazu addieren muss)?
Ich kann dieses Integral nämlich nicht integrieren, daher denke ich, ich bin auf dem falschen Dampfer?
Aber dennoch danke schon einmal für die erste gute Antwort zu meiner Frage! *
MfG
Disap
Hallo,
Was genau meinst du mit zum Beispiel?
die Funktion kann beliebig sein, sie muss nur die genannten und unten nochmals aufgeführten Kriterien erfüllen.
Ich habe den Weg mal skizziert mit RE- und IM-Achsen. Das
ergibt dann eine Raute, zu der ich auch vier Fuktionen
aufstellen kann, nämlich
it+1
it-1
-it+1
-it-1
Nach deinem Vorschlag ist z(t) = -it-1
Es muss eine Funktion sein, die für irgendein Argument (z. B. t = 0) den Funktionswert –1 und für irgendein anderes Argument (z. B. t = 1) den Funktionswert –i annimmt. Deine Funktion z(t) = -it-1 erfüllt diese Bedingungen nicht (nicht alle).
Insgesmat brauche ich doch jetzt vier Integrale, beim
Integrieren selbst scheitere ich jetzt aber, denn ich kenne
die FormelInt f(z) über g = Int f(z(t)) * z’(t) dt
Ja, so rechnet man ein Kurvenintegral aus.
Was wären hier eigentlich die Integrationsgrenzen? Wäre es
hier 0 und 1 oder -1 und -i?
Es sind diejenigen t-Werte, für die die Funktionswerte Deiner Funktionen mit den Rauten-Eckwerten übereinstimmen.
Guten Morgen!
Ich habe jetzt mal die vier Funktionen aufgestellt. Den Realteil möchte ich immer für t=0 erhalten, den Imaginärteil für 1, dann erhalte ich die Funktionen
f1(t) = t(-i+1)-1 -> f1’(t)= -i+1
f2(t) = t(-i-1)+1 -> f2’(t) = -i-1
f3(t) = t(i-1)+1 -> f3’(t) = i-1
f4(t) = t(i+1)-1 -> f4’(t) = i+1
Damit muss ich vier Integrale löse, nämlich
Int [-i+1]/[t(-i+1)-1] + Int [-i-1]/[t(-i-1)+1]+Int [i-1]/[t(i-1)+1] + Int [i+1]/[t(i+1)-1]
jeweils in den Grenzen von 0 bis 1
Gibt es hier denn noch irgendeinen Trick, sodass ich das leicht integrieren kann? Ich sehe da nämlich leider nichts.
Viele Grüße
Disap
Hallo,
Ich habe jetzt mal die vier Funktionen aufgestellt. Den
Realteil möchte ich immer für t=0 erhalten, den Imaginärteil
für 1,
dann musst Du beim Aufschreiben der Integrale aufpassen, dass die korrekten Integrationsgrenzen für zwei Wegstücke 0 (unten am ∫) und 1 (oben am ∫) sind, für die anderen beiden Wegstücke aber 1 und 0. Ich würde die Funktionen so wählen, dass t immer 0 am Startpunkt des betreffenden Wegstücks und 1 immer an dessen Endpunkt ist. Das ist genauso schwierig (oder einfach), aber es macht die spätere Verrechnung der Funktionen etwas einheitlicher, weil dann alle Information im Funktionsterm steckt und keine mehr in der t-Laufrichtung, die immer 0…1 ist.
f1(t) = t(-i+1)-1 -> f1’(t)= -i+1
ja.
f2(t) = t(-i-1)+1 -> f2’(t) = -i-1
Andere Möglichkeit: f2(t) = (1 + i) t – i. Dann ist f2(0) = –i, f2(1) = 1.
Damit muss ich vier Integrale löse
Ja. Es sei denn, Du erkennst, dass sich die Integrale paarweise nach dem Schema I + (–I) = 0 aufheben.
Gruß
Martin
Moin!
Eine letzte Frage habe ich noch,
Damit muss ich vier Integrale löse
Ja. Es sei denn, Du erkennst, dass sich die Integrale
paarweise nach dem Schema I + (–I) = 0 aufheben.
tut es denn das? Oder war das nur eine allgemeine Antwort, weil mein Ergebnis ist nämlich != 0.
MfG!
Disap
Hallo,
Ja. Es sei denn, Du erkennst, dass sich die Integrale
paarweise nach dem Schema I + (–I) = 0 aufheben.tut es denn das?
ich dachte, die Antwort wäre (auch Dir) klar, weil man ja weiß, dass der Rautenweg die am Ursprung befindliche Polstelle der nicht-analytischen Funktion f(z) = 1/z umschließt, woraus nach dem Cauchy-Theorem ein nicht-verschwindendes Wegintegral folgt (nochmal im Funktionentheorie-Buch nachlesen?). Bei einer Funktion f(z) ohne Polstelle wäre von vornherein klar, dass sich die Integrale paarweise aufheben müssen (wenn Du Lust hast, kannst Du Dich z. B. anhand der Funktion f(z) = z davon überzeugen). Den Wert des Wegintegrals für f(z) = 1/z und einen Weg durch die gegebenen vier Punkte, der die Polstelle einschließt, kann man jedoch in einer Zeile ausrechnen, wenn man einen bestimmten, sehr einfachen Weg wählt, nämlich einen Radius-1-Kreis! Mit der Parametrisierung ei φ, φ = –π … π dafür ist man ruckzuck fertig:
∫(Radius-1-Kreis) 1/z dz = ∫–&pi … π 1/ei φ ei φ i dφ = i ∫–&pi … π dφ = 2 π i
Das gesuchte Wegintegral hat also den Wert 2 π i, und das kommt wie erwartet auch beim Rautenweg heraus; die Rechnung ist nur umfangreicher.
Man kann den Weg übrigens durchaus auch so gestalten, dass er die gegebenen Punkte durchläuft, den Ursprung aber nicht einschließt. Dazu muss man nur ein Wegviertel zu einer ausgeprägten „Delle“ machen, so dass der Weg aussieht wie der Umriss eines Butterhörnchens (weißt Du, wie ich es meine?). Geht die Eindellung über den Ursprung hinaus, liegt die 1/z-Polstelle außerhalb des vom Weg eingeschlossenen Gebiets. In diesem Fall wäre ∫dieser Weg 1/z dz = 0 von vornherein klar.
weil mein Ergebnis ist nämlich != 0.
Wenn es 2 π i ist: Glückwunsch 
Gruß
Martin