Berechnung uneigentliches Integral

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo ihr Lieben,
bin gerade dabei, zu bestimmen, ob es sich bei folgendem Term um ein uneigentliches Integral handelt- und bräuchte noch eine kleine Starthilfe, fürchte ich:

Int (1/(4*sqrt(x)+sqrt(x^3))dx

Hab schon mit Patialbruchzerlegung, Substitution mit sqrt(x) und so weiter rumprobiert, komme aber auf keinen grünen Zweig:frowning:

Vielleicht könnt ihr mir helfen, wär echt super!
Danke schon mal:smile:

#2

Hallo

Hast du schon versucht die Wurzel in Potenzschreibweise darzustellen.
Das würde die Sache bestimmt leichter machen…

Bsp.: 1/sqrt aus x = 1 * x^(-1/2)

Gruß Flarian

#3

Hallo,

das sollte doch machbar sein:

4 \sqrt{x} + \sqrt{x^3} = \sqrt{x}:frowning:4 + x)

x(t) = t2 substituieren.

Stammfunktion von 1/(x2 + 1) ist arctan(x).

Reicht das als Hilfestellung?

Gruß
Martin

#4

Hossa :smile:

Int (1/(4*sqrt(x)+sqrt(x^3))dx

I=\int\frac{dx}{4\sqrt x+\sqrt{x^3}}=\frac{dx}{8\left(\frac{\sqrt x}{2}\right)+8\left(\frac{\sqrt{x}}{2}\right)^3}

Substituiere wie folgt:

u=\frac{\sqrt{x}}{2}\quad\Longrightarrow\quad\frac{du}{dx}=\frac{1}{4\sqrt{x}}=\frac{1}{8u}\quad\Longrightarrow\quad dx=8u,du

Einsetzen in das Integral:

I=\int\frac{8u,du}{8u+8u^3}=\int\frac{du}{1+u^2}=\arctan(u)=\arctan\left(\frac{\sqrt x}{2}\right)

Viele Grüße

Hasenfuß

#5

Hallo ihr Lieben,
erst mal danke für eure Antworten, hab jetzt verschiedene Substitutionsvarianten ausprobiert und auch mit der Potenzschreibweise gearbeitet. Komme jetzt bei anderen Aufgaben wesentlich besser klar; bei der o.g. bin ich mir noch immer nicht zu 100% sicher.
Hab die Aufgabe auch mal durch div. Software gejagt- und bekomme selbst da noch unterschiedliche Ergebnisse, die sich ineinander umformen lassen… Irgendwie eine ganz schön seltsame Aufgabe…

#6

NICHT ineinander umformen lassen! Sonst wärs ja schwachsinnig- also meine Aussage, die Aufgabe wäre sonst toll:smiley:

#7

Hallo,

Hab die Aufgabe auch mal durch div. Software gejagt- und
bekomme selbst da noch unterschiedliche Ergebnisse

das kann durchaus sein. Bei Ergebnissen mit Arkus-Funktionen muss man stets auf der Hut sein, denn diese Funktionen sind über bestimmte Beziehungen miteinander verknüpft. Beispielsweise arctan und arcsin über die Identität1
\arctan(x) = \arcsin \Big(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\Big)

Wenn Du also zu Deiner Funktion

f(x) = \frac{1}{4 \sqrt{x} + \sqrt{x^3}}

in mühevoller Handarbeit als korrekte Stammfunktion

F(x) = \arctan \Big(\frac{\sqrt{x}}{2}\Big)

ermittelt hast, bei dem anschließenden Check mit einem Computer-Algebra-System dieses Dir jedoch als Stammfunktion

F(x) = \arcsin \Big(\sqrt{\frac{x}{x+4}}\Big)

präsentiert, dann hat niemand (!) falsch gerechnet, denn obwohl die Terme verschieden sind, ist es dieselbe Funktion.

Die CAS bestimmen Stammfunktionen über sehr allgemeine Algorithmen, die das Ergebnis nur in Form irgendwelcher wüsten Monsterterme liefern können. Diese werden dann „möglichst weitgehend“ vereinfacht. Je nachdem welche Methoden für die Teilaufgaben zur Verfügung stehen und wie diese ausgestaltet sind, können die Ergebnisse bei Stammfunktionen unterschiedlich ausfallen.

Es geht sogar noch einen Tick doller: Auch Funktionen, die nicht nur unterschiedliche Terme haben, sondern auch tatsächlich voneinander verschieden sind, können Stammfunktionen einundderselben Funktion sein. Bei einer Überprüfung würdest Du dann zum selben x-Wert verschiedene Funktionswerte erhalten. Geht das wirklich? Ja! Verschiedene Funktionen können Stammfunktionen einundderselben Funktion sein, wenn sie sich nur in einer additiven Konstanten unterscheiden („plus C“). Auch in einem solchen Fall darf man sich nicht in die Irre führen lassen.

Gruß
Martin

1Beweis:

\sin
= \frac{\frac{\sin}{\cos}}{\frac{1}{\cos}}
= \frac{\frac{\sin}{\cos}}{\sqrt{\frac{1}{\cos^2}}}
= \frac{\frac{\sin}{\cos}}{\sqrt{\frac{\sin^2 + \cos^2}{\cos^2}}}
= \frac{\frac{\sin}{\cos}}{\sqrt{(\frac{\sin}{\cos})^2 + 1}}
= \frac{\tan}{\sqrt{\tan^2 + 1}}