Hallo an alle!
Wie kann ich vom Ausdruck:
f(x) = x^3 + x^2 - 2
die Nullstellen berechnen (einfach hinschaun und sehen, dass x=1 sein muss gilt nicht als Lösung 
).
Bei x^4 + x^2 - 2 = 0 würds mit einer Substitution funktionieren… aber hier!?
Vielen Dank für Ratschläge,
Luggi
Auch hallo.
Wie kann ich vom Ausdruck:
f(x) = x^3 + x^2 - 2
die Nullstellen berechnen (einfach hinschaun und sehen, dass
x=1 sein muss gilt nicht als Lösung
Also ein bisschen Raten wird wohl erlaubt sein: x0=1
Danach geht es der Faktorabspaltung weiter:
(x^3+x^2-2)/(x-1) = x^2 +2x -2
-(x^3-x^2)
------------
0 2x^2-2
-(2x^2-2x)
-------------
0 2x-2
Die Nullstellen von x^2 +2x -2 lassen sich jetzt mit der p-q-Formel errechnen: p=2, q=-2
x1/2 = -2/2 +/- Wurzel (4/4 --2)
x1 = -1 + Wurzel(3)
x2 = -1 - Wurzel(3)
…aber ohne das jetzt zu prüfen
HTH
mfg M.L.
Ich stelle die Frage anders…
Hi Markus!
Also ein bisschen Raten wird wohl erlaubt sein: x0=1
Genau das wollte ich vermeiden 
… ich stelle die Frage etwas abgeändert: wie kann ich folgenden Term lösen?
x^3 + x^2 - 5 = 0
Weil der Weg muss der gleiche sein, nur kann ich hier nicht schnell mal raten - ich zumindest.
Danke im Voraus,
Luggi
Hallo nochmal.
Genau das wollte ich vermeiden
Okay, das war kein zu 100% sauberes Verfahren.
ich stelle die Frage
etwas abgeändert: wie kann ich folgenden Term lösen?
x^3 + x^2 - 5 = 0
Mit analytischen Mitteln (=Newton-Vefahren) kann man diesem Problem
auch auf den Pelz rücken: xn+1 = xn - f(xn)/f’(xn)
f(x) ist je bekannt, f’(x) = 3x^2+2x
Startwert für xn z.B. 1: xn+1 = 1 - 0/5
Oops: x=1 war schon eine Nullstelle ) (da xn+1=xn eine NS signalisiert)
Dann soll man eben für x=2 rechnen
Auf jeden Fall geht das Manöver dann wie eben beschrieben: eine Nullstelle errechnen, Faktorabspaltung,…
HTH
mfg M.L.
Wie kann ich vom Ausdruck:
f(x) = x^3 + x^2 - 2
die Nullstellen berechnen (einfach hinschaun und sehen, dass
x=1 sein muss gilt nicht als Lösung
Hallo,
für eine „hinschaufreie“ algebraische Berechnung der Nullstellen kubischer Polynome sind die Formeln von Cardano (http://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formel) zuständig.
Das allgemeine Problem lautet
y³ + p y + q = 0 [
]
Jedes kubische Polynom a x³ + b x² + c x + d kann durch Division mit a und der Substitution y = x + b/(3 a) in die sogenannte „reduzierte Form“ [] überführt werden. Die Formeln für p und q sind klotzig; entnimm sie bitte dem oben verlinkten Wikipedia-Artikel.
In Deinem Fall ist
a = 1
b = 1
c = 0
d = –2
Das führt auf
b/(3 a) = 1/3 = 0.333333333…
p = –1/3 = –0.33333333333…
q = –1.925925925925…
Daraus folgt die sogenannte Diskriminante D zu
D = 4 p³ + 27 q² = 100
Wie die Nullstellen-Lösungsmenge im Einzelfall aussieht, d. h. wieviele Lösungen es gibt und wieviele davon reell bzw. komplex sind, hängt davon ab, ob D > 0, D = 0 oder D 0; damit hat Dein Polynom genau eine reelle Nullstelle. Die Nullstelle von [] ist gegeben durch
y1 = 3√(–q/2 + h) + 3√(–q/2 – h) mit h = √(q²/4 + p³/27)
Resultat:
y1 = 1.333333333333
→ x1 = y1 – b/(3 a) = 1
Fertig Wie Du siehst sind die Formeln von Cardano eine ziemlich sperrige Angelegenheit, und deshalb ist man auch stets froh, wenn man eine Nullstelle eines kubischen Polynoms erraten kann *lach*.
Gruß
Martin
…sagt auch keiner was:
Startwert für xn z.B. 1: xn+1 = 1 - 0/5
Oops: x=1 war schon eine Nullstelle
xn+1=xn eine NS signalisiert)
1^3+1^2-5 ergibt jedenfalls nicht Null.
Aber dafür stimmt das Prinzip und dann dauert die Rechnung eben etwas länger…
mfg M.L.