Berechnung Zungenlänge / Frequenz

Wissenschaft Physik
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Sehr geehrte Mathematik-/ Physik-Kenner,

seit einigen Wochen beschäftigt mich nachfolgendes Problem. Trotz googlen, wiki und Formelsammlungen komme ich (nur Musiker) auf keine adequate Lösung. Da mein Mathematisches Wissen eher durchschnittlich ist, bitte ich um Nachsicht bezüglich meiner unprofessionellen Darstellung.

Experiment:
In eine Stahlplatte (2mm Stärke) werden unterschiedlich lange Zungen geschnitten. Bringt man diese Zungen zum Schwingen (anschlagen mit Klöppel) erklingen diese in unterschiedlicher Tonhöhe. Ähnlich einem Glockenspiel, allerdings mit dem Unerschied, dass die Zungen einseitig fest mit der Platte verbunden sind und dadurch die gesamte Platte zum Schwingen anregen.

Problem:
Gesucht ist die Tonhöhe einer schwingenden Zunge(Frequenz in Hz) im Verhältnis zur Zungenlänge (mm).

Lösungsversuche:

Einfacher Ansatz durch Beobachtung (zugegeben sehr wenige Daten)

  • als tiefster Ton (Basis) wurde D3 (146,832) Hz ausgewählt.
  • jeder Halbtonschritt wird in 100 Cent (gleichstufig temperiert) unterteilt. (1 Oktave = 12 Halbtöne = 1200 Cent)
  • die Zungelänge wird in mm angegeben
  • die Zungenbreite hat nach Beobachtung keine maßgebliche Auswirkung auf die Tonhöhe und ist frei gewählt fix 50 mm

Frage 1:

Wie leite ich eine einfache Funktion aus der nachfolgenden Beobachtung ab (Verhältnis y mm zu x Cent)?

----------------(x-Achse)(y-Achse)
(Note)—(Hz)------Cent-----mm----

D3-----146,832----Basis----126----
A3-----220,000-----700------96----
D4-----293,665----1200------79----
F4-----349,228----1500------70----
A4-----440,000----1900------59----
D5-----587,330----2400------49----

mm Skizze
|x
|—x
|-------x
|------------x
|------------------x
|--------------------------x
----------------------------cent

Frage 2:

Gibt es eine mathematische Formel für die Berechnung einer Zungenlänge zur Schwingungsfrequenz?

Das einfache Modell der schwingenden Saite funktioniert hier leider nicht.

Bsp 1: reine Stimmung: Saitenlänge / 2 = Oktave; Saitenlänge /3*2 = Quinte; Saitenlänge /4*3 = Quarte; usw.
Bsp 2: f(i+1)=f(i)*(e^(ln(2)/12))=1,0594630943593*f(i) für gleichstufige Stimmung (1 Oktave in 12 gleiche Halbtöne)

Ich denke, dass die festverbundene Zunge als Dämpfung fungiert. Dann spielt noch die Steifigkeit des Stahls eine Rolle. Da fallen mir jetzt noch folgende Schlagwörter ein:

  • Pendel
  • Ohmsche Gesetze: als Pendant zur Akustik, fest verbundene Seite der Zunge als Dämpfungsglied ???

Vielleicht befinde ich mich aber auch auf dem Holzweg. Über Tipps, in welche Richtung ich weiterforschen kann, wäre ich sehr froh.

Für Ihre Bemühungen Herzlichen Dank im Voraus.

Beste Grüße und herzlichen Dank.

Janick

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Hallo Janick,

vielleicht hilft dir das hier weiter:

http://de.wikipedia.org/wiki/Stimmzunge#Berechnung_d…

Wie du richtig vermutest, hat die Breite keinen Einflüß auf die Tonhöhe, nur die Länge, die Dicke, die Dichte und das Elastizitätmodul des Materials.

Viele Grüße
Torsten

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Hallo Janick,

der Wiki-Link sollte Dir ausreichend Informationen zur Abhängigkeit der Frequenz von Materialparametern und mechanischen Abmessungen geliefert haben.
Daneben hast Du aber auch über die Dämpfung nachgedacht.
Nur zur Sicherheit, dass wir uns richtig verstehen: Als Dämpfung bezeichnet man den Effekt, dass eine Schwingung mit der Zeit abklingt, im akustischen Fall also leiser wird.
Bei den Stimmzungen sind meines Erachtens drei Mechanismen verantwortlich:

  1. Energieabfluss zur Befestigungsplatte (Vibrationen, die sich auf mögliche Resonanzkörper übertragen)
  2. Energieabfluss in die Luft (Schallwellen)
  3. Innere Verluste im Werkstoff, die durch die nicht ideal elastische Verformung der Zungen entstehen.

Viele Grüße,
Jürgen

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Hallo Jürgen,
hallo Torsten,

herzlichen Dank für die schnellen Antworten!Komischerweise hatte ich ausgerechnet diesen Wiki-Artikel nicht selbst gefunden?!? Da dürften erstmal die meisten Infos drinnen stehen.

Bezüglich der Dämpfung sehe ich als Laie auch diese drei Faktoren.

Nur noch eine letzte Frage zu der geometrischen Versuchsreihe. Wie kann ich aus diesen Werten ein einfache Funktion machen? Für mich ist das eine immer flacher werdende Kurve. Ein Hinweis oder Tipp auf die Art der Funktion würde mir auch genügen, dann kann ich nachschlagen (?Exponentialfunktion, Logarithmus, etc.???)

Nochmals vielen herzlichen Dank. - Janick

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Hallo Janick,

Nur noch eine letzte Frage zu der geometrischen Versuchsreihe.
Wie kann ich aus diesen Werten ein einfache Funktion machen?
Für mich ist das eine immer flacher werdende Kurve. Ein
Hinweis oder Tipp auf die Art der Funktion würde mir auch
genügen, dann kann ich nachschlagen (?Exponentialfunktion,
Logarithmus, etc.???)

da sollte eigentlich eine Funktion der Form

 C 
f = ---
 L²

rauskommen, wobei C eine Konstante ist. So ganz passt das aber nicht mit den Messwerten.

Gruß
Torsten

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Hallo Janick,
also deine Daten passen ganz gut zu folgender Formel:

f = 350 Hz * ( 70 mm / L )^(3/2)

Nach der Wikipedia-Rechnung (hab’ ich nicht nachvollzogen) würde man aber für den Exponenten nicht 1,5 sondern 2 erwarten. Also steckt dort irgend eine Annahme drin, die bei dir nicht gegeben ist…

Ich würde die 3/2 vielleicht verstehen, wenn die Zungen selbst eine sehr kleine Masse hätten und du vorne an der Spitze jeweils einen kleinen Klotz angebracht hättest, so dass die schwingende Masse (fast) unabhängig von der Zungenlänge ist.

Gruß Kurt