Hallo,
ich habe hier eine Bereichsintegralaufgabe und würde gerne wissen ob ich richtig intigriert habe.
„Dreifachintegral (1+z)dxdydz über B“
"mit B=x²+y²
Hossa 
ich habe hier eine Bereichsintegralaufgabe und würde gerne
wissen ob ich richtig intigriert habe.„Dreifachintegral (1+z)dxdydz über B“
"mit B=x²+y²\left(\begin{array}{c}x\y\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}r\cos\varphi\r\sin\varphi\z\end{array}\right)
Die Bedingung x²+y²0\le r\le 1\quad;\quad 0\le\varphi\le2\pi\quad;\quad 0\le z\le1-r\cos\varphi
Zum Wechsel der Variablen (kartesisch=>Zylinder) brauchst du noch die Funktionaldeterminante:
\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\varphi,z)}=
\left|\begin{array}{ccc}
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} & \frac{\partial x}{\partial z}\
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} & \frac{\partial y}{\partial z}\
\frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \varphi} & \frac{\partial z}{\partial z}
\end{array}\right|=r
Das zu berechnende Integral lautet daher:
I=\int\limits_{0}^{1}dr\cdot r\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{0}^{1-r\cos\varphi}\left(1+z\right),dz
I=\int\limits_{0}^{1}dr\cdot r\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi\left[z+\frac{z^2}{2}\right]_{0}^{1-r\cos\varphi}
I=\int\limits_{0}^{1}dr\cdot r\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi\left(\frac{3}{2}-2r\cos\varphi+\frac{1}{2}r^2\cos^2\varphi\right)
I=\int\limits_{0}^{1}dr\cdot r\left[\frac{3}{2},\varphi-2r\sin\varphi+\frac{1}{4}r^2\left(\varphi+\sin\varphi,\cos\varphi\right)\right]_{0}^{2\pi}
I=\int\limits_{0}^{1}dr\cdot r\left(3\pi+\frac{\pi}{2},r^2\right)=\int\limits_{0}^{1}\left(3\pi,r+\frac{\pi}{2},r^3\right),dr=\left[\frac{3}{2}\pi,r^2+\frac{\pi}{8},r^4\right]_{0}^{1}
I=\frac{3}{2},\pi+\frac{1}{8},\pi=\frac{13}{8},\pi
Währe schön wenn mir jemand mein Ergebnis von 13/8 Pi
bestätigen könnte.
Bestätigt
Viele Grüße
Hasenfuß
Hallo,
Vielen Dank für deine schnelle und GUTE Antwort.
Aber eine Frage hätte ich dann noch.
Ich frage mich warum in dieser Aufgabe das x in den z-Grenzen duch r*cos(phi) ersetzt wird, wobei ich aber in anderen (ähnlichen) Aufgaben gesehen habe das dort x NUR duch r ersetzt wird.
Bsp:
"Welches Volumen V hat ein Körper, der durch Drehung der Kurve z=1+cos(x) , 0
Hossa
Ich frage mich warum in dieser Aufgabe das x in den z-Grenzen
duch r*cos(phi) ersetzt wird, wobei ich aber in anderen
(ähnlichen) Aufgaben gesehen habe das dort x NUR duch r
ersetzt wird.
Manchmal ermöglicht eine besondere Geometrie einfachere Ersetzungen.
Bsp:
"Welches Volumen V hat ein Körper, der durch Drehung der
Kurve z=1+cos(x) , 0 nicht mit Zylinder-Koordinaten gerechnet!!!
Gegeben ist in dem Beispiel eine 2-dimensionale Funktion in der xz-Ebene. Wenn du diese um die z-Achse rotierst, entstehen Kreise in der xy-Ebene. Der Radius r eines solchen Kreises ist gleich dem x-Wert der urspünglichen Funktion z(x). Du musst also nur pi*x² (Kreisfläche) entlang der z-Achse integrieren. Hier meinen x und r also tatsächlich dasselbe.
V=\int\limits_{\dots}^{\dots}\pi\left[x(z)\right]^2,dz
Darin ist x(z) die Umkehrfunktion von z(x) und die Punkte symbolisieren die entsprechend zu bestimmenden Integrationsgrenzen.
Viele Grüße
Hasenfuß
Hallo,
dein Integral ist vollkommen logisch. Es wird aber trotzdem in Zylinderkoordinaten in meinem Übungsbuch gerechnet.
Zitat:
"Der kreisförmige Boden des Körpers liegt in der x,y-Ebene z=0 und lässt sich durch die Ungleichungen 0
Hossa
dein Integral ist vollkommen logisch. Es wird aber trotzdem
in Zylinderkoordinaten in meinem Übungsbuch gerechnet.
Kann man auch machen, ist aber bei Rotationskörpern eher ungewöhnlich.
Zitat:
"Der kreisförmige Boden des Körpers liegt in der x,y-Ebene
z=0 und lässt sich durch die Ungleichungen 0r=\sqrt{x^2+y^2}
Z(x,y) trifft bei x=r und y=0 (und nur da) die Ursprungsfunktion z(x), also gilt:
Z(x,y)=z(x)\quad\mbox{falls}\quad x=r,y=0
Da alle Punkte des Rotationskreises denselben z-Wert haben, muss gelten:
Z(x,y)=z®
Anstatt Z(x,y) kann man also z® einsetzen.
Ich hoffe, ich habe das gut genug erklärt, sonst frag einfach nochmal nach.
Viele Grüße
Hasenfuß
Hallo,
nochmal vielen Dank für deine Antwort, ich glaub langsam versteh ich das.
Aber nochmal eine Frage zum Vertändnis.
Ich habe eine andere Aufgabe mit Zylinderkoordinaten berechnet und bin nicht auf die Lösung gekommen. Könntest du mir bitte sagen wie du die Grenzen setzten würdest:
„Das Volumen eines Vietelkegels, dessen Grundfläche das rechte obere Viertel des Einheitskreises ist und dessen Spitze im Punkt (0,0,1)^T liegt.“
In der Lösung heißt es:
"Wir verwenden Polarkoordinaten mit den Grenzen
0