Bernoulli Expriment

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

habe da eine Frage/ein Problem, bei ich nun endlich einmal Sicherheit bekommen haben moechte, wie was denn nun richtig und angepasst ist. -:smile:

Folgendes:
Auf einer Klassenfahrt bietet die Lehrerin das folgende Zufallsspiel an: Sie wirft viermal eine Muenze. Hans, ein Schueler, gewinnt sobald sich der Adler zeigt. Er erhaelt dafuer je einen Euro. im umgekehrten Fall, also bei Zahl, gewinnt die Lehrerin aus der Klassenkasse je einen Euro.
Dies, das sog. Muenzexperiment, darf nach meinem Sachverstaend dem Bernoulli Experiment untergeordnet werden, was eine Binomialverteilung ist.
Auch darf klar sein, dass es in diese Fall insgesamt 16 Alternativen geben kann.
Ist es richtig, dass man von der Kombinatorik ausgehend sagen kann, dass die Reihenfolge wesentlich ist das Spiel mit Wiederholung stattfindet?
Wenn ja, komme ich mit der Formel n^k = auf 16 Alternativmoeglichkeiten, wobei n die Ausgaenge, Adler oder Zahl, bzw. Erfolg oder Misserfolg darstellt und ‚k‘ die Anzahl der Wuerfe.
In irgendeiner Weise muessen ja die Moeglichkeiten, hier 16, berechnet werden koennen.
Wenn dies dem so sei, ist nun fraglich, wie hoch der Erwartungswert ist und inwieweit eine Streuung vorliegt.
Sofern ‚n‘ und ‚k‘ richtig definiert worden ist, erhaelt man als Erwartungwert 1 Euro, da n*0,5 und eine Varianz von 0,5 Euro.
Oder kann es sein, dass die Definition zwischen der Kombinatorik und dem Erwartungswert, Varianz anders getroffen werden?
Da sich die Wahrscheinlichkeit von 0,5 konstant haelt, kann es doch dahinstehen, wie oft die Muenze geworfen wird. Sowohl die Lehrerin als auch der jeweilige Schueler werde ueber laengere Zeitraum den selben Erwartungswert feststellen.
Habe ich einen Denkfehler, oder ist meine Schlussfolgerung so richtig?
Insb., wenn man sich eine Skizze anfertigt, stellt man auch fest, dass sich die Kombinationen im einzelnen miteinander aufheben, d.h., dass also Summe o Euro herauskommt.
Mich interessiert also, um der Erwartungswert richtig berechnet worden ist, oder doch ggf. 0 Euro ist und aber auch, ob ‚n‘ und ‚k‘ richtig definiert worden ist, was eigentlich auch die Fokussierung sein sollte.

Ich danke im Voraus fuer einen Hinweis bzw. fuer eine Unterstuetzung.

Schoenen Abend.

Viele Gruesse

#2

Hallo Michael,

das ist im großen und Ganzen so richtig wie du es beschrieben hast. Der Erwartungswert läßt sich einfachheitshalber durch Anzahl der Würfe mal Wahrscheinlichkeit ausrechten. Dies ist der Erwartungswert wür einen Gewinn. Da nun aber die Lehrerin und der Schüler jeweils den anderen bezahlen müssen ist die Gewinnerwartung 0, da der Schüler der Lehrerin 2 Euro zahlen muss und umgekehrt. Man spricht hier von einem fairen Spiel.

Hoffe das hilft.

Grüße,

Clemens

#3

Hallo Clemens,

vielen Dank fuer Deine Rueckmeldung.

Genau, da es sich um ein faires Spiel handelt, die W’keit von 0,5 bleibt konstant, man koennte die Fairness z.B. auch mit einem validen Test ueberpruefen, bleibt der Erwartungswert konstant.
Aber: Die Formel vom Erwartungswert der Binomialverteilung ist:
E(X) = n*theta
wobei theta die W’keit von 0,5 ist

Wenn zuvor die Frage gestellt wird, wie viel Moeglichkeiten es bei diesem Muenzexperiment gibt, wenn viermal die Muenz geworfen ist, ist festzuhalten, dass es 16 Moeglichkeiten sind.
Ich wende hier die Formel n^k an. Ein Spiel mit Wiederholungen, bei dem die Reihenfolge wesentlich ist (Kombinatorik).

  • ‚n‘ ist hierbei der Ausgang (Erfolg (Adler); Misserfolg (Zahl))
  • ‚k‘ die Anzahl der Wuerfe
    –> dann komme ich auf die 16 Moeglichkeiten. So weit, so gut!

Wenn ich aber nun den Erwartungswert bzw. die Zahlungsbereitschaft berechnen moechte, ist die vorher festgelegte Definition, was ‚k‘ ist, was ‚n‘ ist, nicht mehr brauchbar.
Kann das sein?
Hier muesste ‚n‘ eigentlich die Anzahl der Wuerfe sein, ‚k‘ die Ausgaenge.
Wenn man 4-mal eine Muenze wirfst, bei dem bei Adler ich 1 Euro gewinne, bei Zahl Du einen 1 Euro gewinnst, ist der Erwartungswert 0 Euro.
E(X) = n*theta – > 2*0,5 1 Euro - 2*1,5 Euro = 0 Euro
Ist das richtig? Kann ich mir kaum vorstellen. ‚n‘ muss doch falsch definiert worden sein.
Wenn bspw. das Spiel lautet, dass bei Adler ich 2 Euro, bei Zahl Du ein 1 Euro gewinnst, ist doch der Erwartungswert bzw. die Zahlungsbereitschaft anders.
Bei dem E(X) wird das Spiel so, wie es sein sollte, gar nicht beruecksichtigt.

Vielleicht koenntest Du hierzu noch einmal etwas sagen.

Der Erwartungswert war bzw. ist ja in diesem Beispiel Null. Wenn ich aber die Varianz ausrechnen moechte, habe ich wieder das Problem, was ‚n‘ ist.
‚n‘ kann doch in diesem Fall nicht als die Anzahl der Wuerfe oder die Ausgaenge definiert sein.

Schoenen Tag.

Viele Gruesse
Michael