Hallo,
so richtig weiß ich immer noch nicht, wo das Problem ist…
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B(k,p,n) gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, bei
n-maliger Ausführung des Experimentes k-mal Erfolg zu haben,
wenn p die Erfolgswahrscheinlichkeit für ein einzelnes
Experiment ist (in Deinem Fall ist p = 0,5).
Das ist doch schon einmal sehr entscheidend.
D.h. ja demzufolge, dass nicht die Ausgaenge, Erfolg oder Misserfolg bzw. Adler oder Zahl ‚n‘ ist, sondern eben ‚k‘.
‚n‘ bedeutet dann also die Anzahl der Wuerfe. Richtig?
Ist es richtig, dass ich hierzu auch die Kombinatorik in
Betracht ziehen kann.
Ja, aber wozu?
Um festzustellen, wie wie viele Moeglichkeiten es gibt.
Ich werfe viermal eine Muenze. Du gewinnst 1 Euro, wenn sich der Adler zeigt. Im umgekehrten Fall gewinne ich ein Euro.
Es sind als 2 Spieler, Du und ich, am Spiel beteiligt.
Da viermal die Muenze geworfen wird, kann es nach der Kombinatorik, wobei man dies sich auch noch denken kann, 16 Moeglichkeiten geben.
- AAAA
- AAAZ
- AAZZ
- AZZZ
- ZZZZ
- …
Wenn z.B. bei den ersten 2 Wuerfe der Adel zum Vorschein kommt, bei den anderen 2 Wuerfen die Zahl, dann gleicht sich dies auch, d.h. Du hast 0 Euro gewonnen. Erst 2 Euro bei den ersten 2 Muenzwuerfen gewonnen, dann wieder jeweils 1 Euro bei den anderen zwei Wuerfen verloren.
Nun, wenn ja ‚k‘ die Ausgaenge (Erfolg; Misserfolg) beschreibt und ‚n‘ die Anzahl der Wuerfe, dann ist der Erwartungswert 2 Euro.
Der Erwartungswert von der Binomialverteilung ist: n*theta.
Da aber im umgekehrten Fall 1 Euro an mich gegeben werden muss, relativiert sich dies doch, oder?
Immerhin ist eine W’keit von 50 % (Erfolg oder ebne Misserfolg, besser gesagt, Adler oder Zahl) vorhanden, d.h., dass ich 2 Mal den Erwartungswert zu berechnen habe: 2 Euro - 2 Euro = 0 Euro.
Ist das so richtig?
Wenn ja, habe ich aber Probleme bei der Kombinatorik. Denn: das Muenzexperiment ist ein Spiel mit Wiederholung, bei dem die Reihenfolge wesentlich ist, d.h. laut Tabelle habe ich folgende Formel: n^k
Da aber ‚n‘ als Anzahl der Wuerfe und ‚k‘ als der Ausgang bezeichnet worden ist, steht da 4^2 = 16.
Gut, denkt man sich. Bei einem Spiel, bei dem dreimal die Muenze geworfen wird, gibt es -normalerweise- 8 Alternativen (an einer Skizze laesst sich dies auch sehr gut erkennen).
Wenn ich jetzt aber davon ausgehe, dass eben ‚k‘ der Ausgang ist und ‚n‘ Anzahl der Wuerfe, dann erhalte ich 9 Alternativen (3^2 = 9).
Wird bei der Kombinatorik und beim Erwaertungswert der Binomialverteilung die k’s und n’s anders definiert?
Sonst gibt das doch alles keinen Sinn. Ich spreche ausdruecklich davon, sowohl die Kombinatorik, fuer die Anzahl der Moeglichkeit zu berechnen, anzuwenden, als auch der Erwartungswert der Binomialverteilung, um den Mittelwert bzw. man koennte auch sagen, die Zahlungsbereitschaft festzustellen.
Wenn wichtig ist, bei welchem Wurf was geworfen wird, gibt es
24 = 16 Möglichkeiten. Aber ist das hier nicht egal?
Nein, wenn wie oben beschrieben bzw. eine Skizze anzufertigen ist.
Eigentlich gibt es doch nur 5 Möglichkeiten, nämlich 0-mal,
1-mal, 2-mal, 3-mal oder 4-mal Zahl.
…Dann bekomme ich einen Erwartungswert von 1 Euro.
Ich habe doch in diesem o.g. Beispiel 16 Moeglichkeiten. Du betrachtest jeden Muenzwurf separat. Es soll, von diesem Beispiel ausgehend, festgestellt werden, wie hoch die Zahlungsbereitschaft (Erwatungswert) der Lehrerin ist, wenn viermal die Muenze geworfen wird. Bei Adler gewinnt die Lehrerin einen Euro, bei Zahl der Schueler Hans einen Euro.
Aus Sicht der Lehrerin ist er = 0, weil sie
gleichwahrscheinlich einen Euro verliert oder gewinnt.
Genau. der Erwartungwert bei diesen 4 Muenzwuerfen ist 2, da aber Gleichverteilung vorliegt, muss doch dieser 2 Eurobetrag noch einmal von den 2 Euro abgezogen werden. Es relativiert sich eben in Bezug auf dies Gleichverteilung (W’keit 0,5).
Aus Sicht von Hans ist er = 0,50 Euro, weil er im Mittel bei
jedem zweiten Wurf einen Euro gewinnt, aber keinen Einsatz
zahlen muss.
Genau. Seine Zahlungsbereitschaft waere bei 50 Eurocent. Mann geht -zumindest von weiter Sicht- davon aus, dass die Muenzwurf gleichverteilt ist, diese koennte man ja auch z.B. mit einem Anpassungstest ueberpruefen.
Aber auch er kann einen Euro oder mehr (max. 4 Euro) verlieren. Da habe ich mich in der Tat unklar ausgedrueckt. Denn er ist der Schatzmeister der Klassenkasse. J
Aus Sicht der Klassenkasse ist er = -0,50 Euro, weil im
Mittel bei jedem zweiten Wurf ein Euro entnommen wird, aber
sie nichts gewinnen kann.
Die Klassenkasse soll nicht als 3. Partei in Betracht kommen. Sonst waere natuerlich die Ausfuehrung richtig.
Aber dennoch: Plausibel ist mir das Ergebnis von -0,50 Euro, auch wenn dies mit dem Hauptproblem nichts zu tun, aber wir berechne ich die -0,50 mit dem Erwartungswert n*theta?
Wenn man n-Wuerfe macht, kann man doch festhalten, dass sich
der Erwaertungswert nicht aendert, da die W’keit ja konstant
bleibt.
Das kann man so sehen.
Kann man das nun wirklich so sehen? J
Ich hoffe, dass dies nun ein wenig klarer geworden ist.
Nicht viel…
Na ja, hoffentlich jetzt. -
Zusammengefasst:
- Aendert sich Definition von ‚k‘ und ‚n‘, also der Festlegung, was k, was n ist, zwischen der Kombinatorik und dem Erwartungswert bei der Binomalverteilung (Bernoulli Prozess)?
- Dazu aufbauend, dass sich mit der Festlegung von ‚k‘ und ‚n‘ bei einem dreimaligen Wurf andere Moeglichkeiten zum Vorschein kommen. Einmal 9, einmal 8, wobei das zweitgenannte richtig ist.
- Was nun den Erwartungswert ist ob er tatsaechlich als konstant betrachtet werden kann.
Ob es also bspw. keine Rolle spielt, ob 3 MAl die Muenze geworfen wird oder 1000 Mal…
Dann nochmal 'nen schoenen Sonntag. J
Viele Gruesse
Michael
