In einem Vakuum befindet sich ein Elektron, das sich mit der Geschwindigkeit v0 bewegt. Es wirkt eine Kraft F (prallel zur Bewegungsrichtung) auf das Elektron.
In der Klassischen Mechanik hätte das Elektron nach der Zeit t die Geschwindigkeit:
v = v0 + F / me * t
Wie wird bei sehr hohen Geschwindigkeiten (nahe der Lichtgeschwindigkeit) und starken Kräften v berechnet?
Hallo
Anstatt der Masse die relativistische Masse
m=\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}
einsetzen
Gruss
Ratz
Danke für die schnelle Antwort.
Ist das v in deiner Formel v0?
Wenn ja meinst du dann also:
v = v0 + F * sqrt(1 - v0² / c²) * t / me
Bei dieser Formel kann aber auch ein v>c herauskommen
Gruß Hosch
Hallo Ratz
Anstatt der Masse die relativistische Masse
m=\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}
einsetzen
die Antwort ist so in die „um die Ohren“ gehauen.
Die Frage hies:
Wie wird bei sehr hohen Geschwindigkeiten (nahe der
Lichtgeschwindigkeit) und starken Kräften v berechnet?
Woher hast Du die relativistische Masse m !
Würde mich interessieren, wenn v unbekannt ist.
Gruß VIKTOR
In der RT rechnet man das im Prinzip genauso wie in der klassischen Mechanik, nur dass es dort wegen der Geschwindigkeitsabhängigkeit der trägen Masse etwas komplizierter wird:
Sowohl bei Newton, als auch bei Einstein gilt für den Impuls
\vec p = m_t \cdot \vec v
(wobei mt die träge Masse ist) und für die Kraft
\vec F = {{d\vec p} \over {dt}}
Aus der relativistische Geschwindigkeitsabhängigkeit der trägen Masse
m_t = {{m_0 } \over {\sqrt {1 - {{v^2 } \over {c^2 }}} }}
folgt nun in der RT für die Kraft
\vec F = {{m_0 } \over {\sqrt {1 - {{v^2 } \over {c^2 }}} }}{{\vec a + \vec v \cdot \left( {\vec v \cdot \vec a} \right)} \over {c^2 - v^2 }}
Wenn die Kraft parallel zur Bewegungsrichtung wirkt, dann vereinfacht sich das zu
\vec F = {{m_0 \cdot \vec a} \over {\left( {\sqrt {1 - {{v^2 } \over {c^2 }}} } \right)^3 }}
Für die Beschleunigung gilt demnach
\vec a = {{\vec F} \over {m_0 }} \cdot \left( {\sqrt {1 - {{v^2 } \over {c^2 }}} } \right)^3
Die Lösung dieser Differentialgleichung liefert die relativistische Lösung Deines Problems:
\vec v = c \cdot {{{{t \cdot \vec F} \over {m_0 }} \cdot \sqrt {1 - {{v_0^2 } \over {c^2 }}} + \vec v_0 } \over {\sqrt {c^2 + 2 \cdot {{\vec F \cdot \vec v_0 } \over {m_0 }} \cdot \sqrt {1 - {{v_0^2 } \over {c^2 }}} + {{t^2 \cdot F^2 } \over {m_0^2 }} \cdot \left( {1 - {{v_0^2 } \over {c^2 }}} \right)} }}
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Danke für die schnelle Antwort.
Ist das v in deiner Formel v0?
nein
Wenn ja meinst du dann also:
v = v0 + F * sqrt(1 - v0² / c²) * t /
me
nein sondern
v=v_0+\frac{F}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}t
Das musst du jetzt nach v umstellen
für v0=0 wird die Sache etwas einfacher und das Ergebnis ist
v=\sqrt{\frac{F^2 c^2 t^2}{m_0^2 c^2 + F^2 t^2}}
für t=0 ist v=0
t-> unendlich ist v=c wie es auch sein muss.
Gruss
Ratz
Da habe ich wohl bei der Lösung der Differentialgleichung geschludert. Richtig ist
v = c \cdot \sqrt {{{2 \cdot c \cdot t \cdot m_0 \cdot \vec F \cdot \vec v_0 \cdot \sqrt {c^2 - v_0^2 } + v_0^2 \cdot \left( {c^2 m_0^2 - F^2 t^2 } \right) + c^2 t^2 F^2 } \over {2 \cdot c \cdot t \cdot m_0 \cdot \vec F \cdot \vec v_0 \cdot \sqrt {c^2 - v_0^2 } + c^2 \cdot \left( {c^2 m_0^2 + F^2 t^2 } \right) - v_0^2 t^2 F^2 }}}
Vielen Dank an Martin, dem der Fehler aufgefallen ist.
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