Hallo an alle!
Ich habe folgende Aufgaben zu lösen und hänge etwas daran fest:
Zu untersuchen sind folgende Zahlenfolgen:
a, 1/(3^3), 1/(3^5), 1/(3^7), …
b, 1/2, - 1/6, 1/12, - 1/20, …
Zu a, habe ich das allgemeine Glied ermittelt:
1/(3^(2n+1))
Nun kann ich sagen:
a_n > a_(n+1)
-> 1/(3^(2n+1)) > 1/(3^(2(n+1)+1))
-> 1/(3^(2n+1)) > 1/(3^(2n+3))
-> 3^(2n+3) > 3^(2n+1)
-> 3^(2n) + 3^3 > 3^(2n) + 3^1
-> 27 > 3
Kann ich nun sagen, dass a_n beschränkt ist? Also so ganz sicher bin ich mir da nicht… Aber monoton steigend sollte es sein, oder?
Zu b,
Allgemeines Glied sollte (-1)^n * 1/(n^2 + 1) sein
Da es alternierend ist, kann es nicht monoton fallend oder steigend sein. Aber wie sieht es hier mit der Beschränktheit aus?
Kann mir jemand helfen?
Danke + Gruß
Hallo
Zu untersuchen sind folgende Zahlenfolgen:
a, 1/(3^3), 1/(3^5), 1/(3^7), …
b, 1/2, - 1/6, 1/12, - 1/20, …
Zu a, habe ich das allgemeine Glied ermittelt:
1/(3^(2n+1))
Nun kann ich sagen:
a_n > a_(n+1)
-> 1/(3^(2n+1)) > 1/(3^(2(n+1)+1))
-> 1/(3^(2n+1)) > 1/(3^(2n+3))
-> 3^(2n+3) > 3^(2n+1)
Jetzt kommt ein kleiner (hier nicht wichtiger) Fehler:
statt
-> 3^(2n) + 3^3 > 3^(2n) + 3^1
gehört
3^(2n)*3^3>3^(2n)*3
-> 27 > 3
Kann ich nun sagen, dass a_n beschränkt ist?
a_n ist immer größer als 0 und kleiner als 1 ->beschränkt
Also so ganz sicher bin ich mir da nicht… Aber monoton steigend :sollte es sein, oder?
Nein! Da wie du oben gezeigt hast a_n > a_(n+1) ist die Folge (streng) monoton fallend.
Zu b,
Allgemeines Glied sollte (-1)^n * 1/(n^2 + 1) sein
Bei deiner Formel stimmt das Vorzeichen nie und ab n=2 liefert sie einen zu kleinen Wert.
Ich komme auf: (-1)^(n+1)*1/(n^2+n)
Als Schranken kommen z.B. 1 und -1 in Frage.
Liebe Grüße
Alex
Hallo!
Vielen Dank für deine Antwort!
Zu untersuchen sind folgende Zahlenfolgen:
a, 1/(3^3), 1/(3^5), 1/(3^7), …
b, 1/2, - 1/6, 1/12, - 1/20, …
Zu a, habe ich das allgemeine Glied ermittelt:
1/(3^(2n+1))
Nun kann ich sagen:
a_n > a_(n+1)
-> 1/(3^(2n+1)) > 1/(3^(2(n+1)+1))
-> 1/(3^(2n+1)) > 1/(3^(2n+3))
-> 3^(2n+3) > 3^(2n+1)
Jetzt kommt ein kleiner (hier nicht wichtiger) Fehler:
statt
-> 3^(2n) + 3^3 > 3^(2n) + 3^1
gehört
3^(2n)*3^3>3^(2n)*3
Stimmt, das war von mir falsch notiert.
-> 27 > 3
Kann ich nun sagen, dass a_n beschränkt ist?
a_n ist immer größer als 0 und kleiner als 1 ->beschränkt
Immer größer als 0, das ist klar, aber wieso kleiner 1? Es ist ja a_(n+1) ist die
Folge (streng) monoton fallend.
Stimmt…
Zu b,
Allgemeines Glied sollte (-1)^n * 1/(n^2 + 1) sein
Bei deiner Formel stimmt das Vorzeichen nie und ab n=2 liefert
sie einen zu kleinen Wert.
Ich komme auf: (-1)^(n+1)*1/(n^2+n)
Wiederum hast Du recht. Das Eingeben der Formeln als reinen Text ist unübersichtlich, das habe ich nicht richtig von meinem Blatt abgeschrieben.
Als Schranken kommen z.B. 1 und -1 in Frage.
Kommen die in Frage oder sind das die Schranken?
Bzw. wie komme ich auf diese Schranken?
Gruß PHANTOM
Hallo Phantom!
Als Schranken kommen z.B. 1 und -1 in Frage.
Kommen die in Frage oder sind das die Schranken?
Bzw. wie komme ich auf diese Schranken?
+1 und -1 sind Schranken, wie man durch Hingucken feststellt. Deine Folge hat als groessten Wert b_1 = +1/2 und als kleinsten Wert b_2 = -1/6, denn jeder Wert liegt naeher bei Null als sein Vorgaenger. Damit sind +1/2 die kleinste obere Schranke und -1/6 die groesste untere Schranke. Das bedeutet insbesondere, dass die Folge auch durch +1 und -1 beschraenkt ist.
Gruss,
Klaus
Hallo.
Aber - 1/20 ist doch kleiner als -1/6, also kann - 1/6 nicht die untere Schranke sein. Und das läuft ja immer weiter. Also müsste 0 die untere Schranke sein?!
Wo ist mein Gedankenfehler?
Und da der größte Wert 1/2 ist, dann ist sup = 1/2 = min
Gruß PHANTOM
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Hallo Phantom.
Aber - 1/20 ist doch kleiner als -1/6, also kann - 1/6 nicht
die untere Schranke sein. Und das läuft ja immer weiter. Also
müsste 0 die untere Schranke sein?!
Nein, nein, es ist -1/6 = -0.1666…