Hallo Forum,
ich hatte mir aus der Zahlentheorie unter Anderem gemerkt, dass die Stufen der Kettenbruchentwicklung die jeweils beste Näherung einer Zahl darstellen. Den Ausdruck „beste Näherung“ habe ich dabei so interpretiert, dass für zwei aufeinanderfolgende Entwicklungsstufen a/c und b/d kein Nenner q zwischen c und d existiert, so dass p/q näher an der zu entwickelnden Zahl wäre als a/c. Ich meine auch, dazu mal ein Diagramm gesehen zu haben, in welchem die jeweils besten Näherungen zu vorgegebenem Nenner auf der y-Achse abgetragen waren und wo man deutlich sah, dass die Kettenbruchentwicklung die Optima liefert.
Habe ich mir das tatsächlich so falsch gemerkt? Denn im Beispiel 4/7 sehe ich zum ersten Mal, dass es nicht stimmt: 4/7 = [0;1,1,2], hat also die Teilbrüche 1, 1/2, 4/7 – wo doch 3/5 viel näher an 4/7 dran ist als 1/2.
Dann habe ich die Wiki konsultiert und die sagt etwas von „besten Näherungen erster und zweiter Art“. Wenn ich das richtig verstehe, müsste 3/5 eine beste Näherung erster Art von 4/7 sein. Dann steht dort aber auch, dass man die alle aus der Kettenbruchentwicklung bekommt, wenn man „iteriert mittelt“ nach der Formel (a+r*c)/(b+r*d), wobei a/b und c/d zwei aufeinanderfolgende Teilbrüche sind. Aber mit (1+r*4)/(2+r*7) komme ich doch niemals auf 3/5?
Was habe ich denn nun schon wieder falsch verstanden?
Ich hoffe, Ihr könnt mir bei der Lokalisierung meines Verständnisproblems lösen.
Liebe Grüße
Immo