Hallo zusammen,
ich habe eine Aufgabe zu lösen, bei der ich nicht weiss, wie ich das anstellen soll. Und zwar heisst es: Bestimme Wurzel aus i, 3. Wurzel aus i und 3. Wurzel aus -i.
Mein Prof hat die 1. Aufgabe so gelöst: Wurzel i= Wurzel 1 * (cos 45° + i * sin 45°) = 1/Wurzel 2 + i * 1/2+ Wurzel 2
Aber ich versteh nicht warum? i ist doch gleich Wurzel -1 und wie kommt er auf die 45°.
Vielen Dank schonmal,
lg sina
Mein Prof hat die 1. Aufgabe so gelöst: Wurzel i= Wurzel 1 *
(cos 45° + i * sin 45°) = 1/Wurzel 2 + i * 1/2+ Wurzel 2
Aber ich versteh nicht warum? i ist doch gleich Wurzel -1 und
wie kommt er auf die 45°.
Das ist so ein trick wie man komplexe Zahlen auch noch schreiben kann
z=|z| * exp(i*phi)
Die komplexe Ebene wird also nicht durch x,y aufgespannt sondern durch Kreisparameter.
Dann ist i = 1 * exp(i*pi/2) und wurzel i ist gerade der halbe winkel da
exp(i*pi/4)*exp(i*pi/4)=exp(i*pi/2)=i
Und exp(i*phi)=cos(phi)+i*sin(phi) (mir fällt gerade der Name nicht ein, ein ganz wichtiger Satz)
entsprechend ist -i dann bei einem Winkel von 3/2 pi
Das ist eine Schreibweise, die den Mathematikern relativ fremd ist, aber den Physikern sehr nahesteht, weil im Prinzip alles mit Wellen oder Schwingungen mit dem Ansatz gelöst werden kann.
Hallo,
eine komplexe Zahl läßt sich ja in 3 verschiedenen Formen darstellen:
z = a + bi
z = r \* e^(i\*phi)
z = r \* (cos(phi) + i \* sin(phi))
Wenn Du jetzt die Zahl i ins Koordinatensystem einzeichnest, siehst Du,
dass der Winkel 90° ist und die Länge des Ortsvektors 1.
Im ^
|
1 +
|
-----+--+-----\>
0 1 Re
In der zweiten Formel ist das Wurzelziehen recht anschaulich:
Wurzel(z) = Wurzel(r)\*e^((i\*phi)/2)
für die Zahl i also
Wurzel(i) = 1\*e^(i\*45°)
oder mit sinus und Kosinus geschrieben:
Wurzel(i) = cos(45°) + i\*sin(45°)
Gruß
Torsten
Hallo.
Und exp(i*phi)=cos(phi)+i*sin(phi) (mir fällt gerade der Name
nicht ein, ein ganz wichtiger Satz)
http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl -> Polarform
mfg M.L.
hallo,
vielen dank für die antworten. habs voll gut verstanden und kann jetzt auch die anderen aufgaben lösen. vor allen dingen das mit dem bild war gut zum verständnis für die 90°.
lg, sina