Bestimmtes integral

[derneugierige007]

hallo!

ich bin bisschen verwirrt!
ich soll den wert näherungsweise bestimmen: Integral von den grenzen 0 bis 1 sin(u^2)/u du.

ich kann ja für u^2 = x nehmen dann hätt ich du = dx/2u und für u = sqrt(x)

warum steht als tipp in der angabe: Entwickeln Sie den Integranden in eine Taylorreihe. Wieviele Terme sind n¨otig,
um die gew¨unschte Genauigkeit zu erzielen?

ich mein ich könnte ja einfach das integral integrieren und dann eben die grenzen einsetzen. warum brauche ich hier die taylorreihe??

bitte um hilfe

danke & mfg
michi

[Martin]

Hallo,

ich soll den wert näherungsweise bestimmen: Integral von den
grenzen 0 bis 1 sin(u^2)/u du.

ich kann ja für u^2 = x nehmen dann hätt ich du = dx/2u und
für u = sqrt(x)

fahre fort und überzeuge Dich davon, dass Du damit leider nicht weit kommst.

ich mein ich könnte ja einfach das integral integrieren und
dann eben die grenzen einsetzen.

Dann versuch doch mal, eine Stammfunktion zu finden, aber verschwende nicht zuviel Zeit darauf. Diese Funktion ist nicht elementar integrierbar, d. h. es gibt nachweislich keine Stammfunktion dazu „in geschlossener Darstellung“. Wenn Du den Mathematica-Integrator [*] mit Deiner Funktion fütterst, spuckt er 1/2 Si(x^2) aus, wobei Si die nicht elementare Funktion „Integralsinus“ bezeichnet. Durch Entwicklung der Funktion in eine Taylorreihe kannst Du aber einen Näherungswert für das Integral berechnen.

warum brauche ich hier die taylorreihe??

Aus oben genanntem Grund, oder alternativ: weils der Aufgabensteller so will…

Gruß
Martin

[*] http://integrals.wolfram.com

[derneugierige007]

ok, danke für die antwort…

ok also für sin(x) ergibt das Summe(n=0 bis unendlich) (-1)^n * X^(2n+1)/(2n+1)! und das ergibt x/1! - x^3/3! + x^5/5! - … usw

dh ich müsste dann jeden summand integrieren?? also Integral von x/1! dx + Integral von x^3/3! immer in den grenzen von 0 bis 1??

aber ich habe sin(x^2)/x in den grenzen von 0 bis 1 zu integrieren, wie setze ich das um, kannst du mir einen denkanstoß geben, hoff ich bin soweit nicht am holzweg…

danke & mfg

[Martin]

aber ich habe sin(x^2)/x in den grenzen von 0 bis 1 zu
integrieren, wie setze ich das um,

Na, Du berechnest zuerst die Taylorentwicklung von sin(x^2)/x um die Stelle 0, bis zu einem „vernünftigen“ Grad (hier spielt der Hinweis in der Aufgabe zur Genauigkeit des Näherungswertes rein). Das Polynom kannst Du anschließend problemlos integrieren.

Die Formel für die Taylorentwicklung einer Funktion sollte Dir bekannt sein, ansonsten Mathebuch konsultieren.

Gute Nacht
Martin

[derneugierige007]

Na, Du berechnest zuerst die Taylorentwicklung von sin(x^2)/x
um die Stelle 0, bis zu einem „vernünftigen“ Grad (hier spielt
der Hinweis in der Aufgabe zur Genauigkeit des Näherungswertes
rein). Das Polynom kannst Du anschließend problemlos
integrieren.

Die Formel für die Taylorentwicklung einer Funktion sollte Dir
bekannt sein, ansonsten Mathebuch konsultieren.

Gute Nacht
Martin

achso, das ist dann soetwas wie hier beschrieben, also berechne die ableitungen und dann erhalte ich das taylor-polynom und dann das Integral daraus machen…

gute nacht & danke

[derneugierige007]

ok ich hab das jetzt folgender maßen gemacht:
ich habe zuerst die ersten 5 ableitungen gemacht von f(x) = sin(x^2)/x
und hab folgende werte rausbekommen:
f(0) = 0
f’(0) = 2
f’’(0) bis f’’’’’(0) hab ich jeweils 0 herausbekommen (hab dann aufgehört)

und diese werte in diese formel eingesetzt:
T(x) = f(0) + f’(0)*x + f’’(0)*x^2/2 usw… ==> T(x) = 2x - 24*x^5/120

und ja dann habe ich ja ein normales polygon und habe dann integriert:
Integral(0 bis 1) 2*x dx - Integral(0 bis 1) 24*x^5/120 dx ==> 1 - 1/30 = 0,966

schaut der rechengang bzw das ergebnis ok aus?

danke & mfg

[Martin]

ich habe zuerst die ersten 5 ableitungen gemacht von f(x) =
sin(x^2)/x
und hab folgende werte rausbekommen:
f(0) = 0
f’(0) = 2
f’’(0) bis f’’’’’(0) hab ich jeweils 0 herausbekommen (hab
dann aufgehört)

f’(0) = 1 statt 2

f’’ = 0 und f’’’’ = 0 ist von vornherein klar, weil sin(x^2)/x ja eine ungerade Funktion ist. Ist f’’’(0) wirklich auch = 0? Überprüf das nochmal.

und diese werte in diese formel eingesetzt:
T(x) = f(0) + f’(0)*x + f’’(0)*x^2/2 usw… ==> T(x) = 2x -
24*x^5/120

Lässt Du Dir von einem Funktionenplotter die Graphen von T(x) = x – 24 x^5/120 und sin(x^2)/x in ein gemeinsames Koordinatensystem zeichnen, siehst Du, dass dieses T(x) zumindest nicht grob falsch sein kann.

und ja dann habe ich ja ein normales polygon und habe dann
integriert:
Integral(0 bis 1) 2*x dx - Integral(0 bis 1) 24*x^5/120 dx
==> 1 - 1/30 = 0,966

Es muss ein Wert etwas unterhalb von 1/2 rauskommen, denn man kann ja anhand des Plots die dem Integral entsprechende Fläche abschätzen.

Jetzt aber schleunigst Schicht im Schacht…
Martin

[derneugierige007]

f’(0) = 1 statt 2

f’’ = 0 und f’’’’ = 0 ist von vornherein klar, weil sin(x^2)/x
ja eine ungerade Funktion ist. Ist f’’’(0) wirklich auch = 0?
Überprüf das nochmal.

Lässt Du Dir von einem Funktionenplotter die Graphen von T(x)
= x – 24 x^5/120 und sin(x^2)/x in ein gemeinsames
Koordinatensystem zeichnen, siehst Du, dass dieses T(x)
zumindest nicht grob falsch sein kann.

Es muss ein Wert etwas unterhalb von 1/2 rauskommen, denn man
kann ja anhand des Plots die dem Integral entsprechende Fläche
abschätzen.

Jetzt aber schleunigst Schicht im Schacht…
Martin

wenn ich für f’(x) = 1 rausbekommen würde, dann würde ich auch einen wert unter 0,5 rausbekommen als endergebnis, aber naja ich habe 100 mal nachgerechnet f(x) = sin(x^2)/x und dann komme ich auf f’(x) = 2*cos(x^2) - sin(x^2)/x^2 wenn ich dann für x=0 einsetze komme ich auf 2 - 0 = 2

[Martin]

wenn ich für f’(x) = 1 rausbekommen würde, dann würde ich auch
einen wert unter 0,5 rausbekommen als endergebnis, aber naja
ich habe 100 mal nachgerechnet f(x) = sin(x^2)/x und dann
komme ich auf f’(x) = 2*cos(x^2) - sin(x^2)/x^2 wenn ich dann
für x=0 einsetze komme ich auf 2 - 0 = 2

Null in sin(x²)/x² einzusetzen, verbietet sich wegen „0/0“ offensichtlich, aber mit der Regel von L’Hospital kannst Du beweisen, dass der Grenzwert lim_{x → 0} sin(x²)/x² existiert und gleich 1 ist.

[derneugierige007]

ok jetzt hab ichs, danke!
hoff es ist so richtig:

f(x) = 0 //mit l’hospital berechnet
f’(x) = 1 //ist auch jetzt klar
f’’(x) = 0 //da habe ich eine frage:

f’’(x) = -4x *sin(x^2) + 2*sin(x^2)/x^3 + 2*cos(x^2)/x //so für den ersten therm ist klar limx->0 = 0 für den 2. und 3. therm wende ich l’hospital an und bekomme bei beiden einen uneigentlichen grenzwert (± unendlich) wenn ich das einsetze ==> 0 ±unendlich ± unendlich warum ergibt das 0??

die 3. ableitung habe ich genauso gemacht und dann eben wieder l’hospital angewandt und komme auf 0 - 0 -+ unendlich + 0 ± unendlich - 0 ist das auch 0??

f’’’(x) = -4*sin(x^2) - 8*x^2*cos(x^2) - 6*sin(x^2)/x^4 + 4*sin(x^2)/x^2 - 2*cos(x^2)/x^2 - 4*sin(x^2)

stimmt das jetz mal zur abwechslung

und dann setze ich einfach in die taylorreiche ein und ja, dann komme ich auf eine annäherung die kleiner 1/2 ist

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

[Martin]

f’’(x) = -4x *sin(x^2) + 2*sin(x^2)/x^3 + 2*cos(x^2)/x //so

Bei mir ist das zweite Plus ein Minus:

f’’(x) = –4 x sin(x^2) + 2 sin(x^2)/x^3 – 2 cos(x^2)/x

Frage: lim_{x → 0} (sin(x^2)/x^3 – cos(x^2)/x) = ?

Erster Klärungsversuch:

lim_{x → 0} cos(x^2)/x = [klar] ±∞
lim_{x → 0} sin(x^2)/x^3 = [mit L’Hospital] ±∞

Ergebnis: lim_{x → 0} (sin(x^2)/x^3 – cos(x^2)/x) kann in dieser Form NICHT durch Anwendung von L’Hospital berechnet werden, weil L’Hospital „0/0“ oder „±∞/±∞“ voraussetzt, hier aber „∞ – ∞“ vorliegt.

Neuer Klärungsversuch:

lim_{x → 0} (sin(x^2)/x^3 – cos(x^2)/x) = lim_{x → 0} (sin(x^2) – x^2 cos(x^2))/x^3

Für x → 0 ergibt sich jetzt das gewünschte „0/0“ ⇒ L’Hospital anwenden und Grenzwert ausrechnen. Ergebnis: … = lim_{x → 0} (–2 sin(x^2)) = 0

für den ersten therm ist klar limx->0 = 0 für den 2. und 3.
therm wende ich l’hospital an und bekomme bei beiden einen
uneigentlichen grenzwert (± unendlich) wenn ich das einsetze
==> 0 ±unendlich ± unendlich warum ergibt das 0??

„∞ – ∞“ hat keinen bestimmten Wert. Es KANN Null sein aber auch jede beliebige andere Zahl, einschließlich ∞ und –∞.

So wie im „neuen Versuch“ oben musst Du auch bei der 3. Ableitung verfahren, mit cos(x^2)/(x^2) - sin(x^2)/x^4) als fraglichem Term.

f’’’(x) = -4*sin(x^2) - 8*x^2*cos(x^2) - 6*sin(x^2)/x^4 +
4*sin(x^2)/x^2 - 2*cos(x^2)/x^2 - 4*sin(x^2)

Korrigier Deinen Vorzeichenfehler, s. o. Ich komme auf

f’’(x) = –4 x sin(x^2) – 2 cos(x^2)/x + 2 sin(x^2)/x^3

f’’’(x) = –8 x^2 cos(x^2) + 6 cos(x^2)/x^2 – 6 sin(x^2)/x^4

Martin

^{PS: „Term“ schreibt man ohne „h“.}