Hallo ich habe vier Vektoren gegeben: v1(3,1,1) ; v2(-1,1,-1) ; v3(1,1,0) ; v4(2,0,1) wie kann ich nun die Dimension des Aufspanns L(v1,v2,v3,v4) bestimmen?
lg Daniel
Hi Daniel!
Ich glaube ich hätte eine Idee…
Du musst die Determinante deiner Matrix 3 -1 1 2 bilden.
1 1 1 0
1 -1 0 1
Dazu musst du Gleichungen draus machen. Also eine 5. Spalte mit der Summe der jeweiligen Zeile. Erste Summe ist: 3 -1 +1 +2 = 5 usw
Statt dem = werden für gewöhnlich einfach senkrechte Betragstriche gemacht. Dann musst du bei einer Matrix dieser Größe durch Äquivalenzumformungen versuchen, das linke untere Dreieck leer zu kriegen. Also so lange spielen bis dort links unten überall Nullen stehen und die Diagonale sowie das rechte obere Dreieck der Matrix überbleiben. Das Produkt der Diagonalelemente ist die Determinante.
Ist der Absolutbetrag der Determinante = 0 kann man mit diesen Vektoren keinen Raum aufspannen, weil alle Vektoren in einer Ebene liegen.
Ist er aber ungleich 0, dann entspricht dieser genau dem Volumen des Parallelepipeds (=Spat).
lg Klaus
Hi Klaus,
sprich die Anzahl der Ergebnisse meines LGS also x1,x2…xn entspricht der Anzahl der Dimension oder?
lg und Danke
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Also ich glaube die Anzahl der Diagonalelemente nach dem umformen für die Determinante entspricht der Anzahl der Dimension.
Da du eine 3 x 5 Matrix hast müsste ein euklidischer 3-Raum der Dimension 3 rauskommen, also X1, X3 und X5. Das sind dann Länge, Breite, Höhe und entsprechen dem Volumen. X2 und X4 werden solange umgeformt bis sie 0 ergeben, dafür ändert sich ja entsprechend der Wert der anderen Zahlen.
Hallo ich habe vier Vektoren gegeben: v1(3,1,1) ; v2(-1,1,-1)
; v3(1,1,0) ; v4(2,0,1) wie kann ich nun die Dimension des
Aufspanns L(v1,v2,v3,v4) bestimmen?
hi,
mir sagt „aufspann“ hier nix; vermutlich (wie auch schon martin, s.o., gemeint hat) ist die „lineare hülle“ der vektoren bzw. der von den vektoren aufgespannte untervektorraum gemeint.
dieser untervektorraum kann die dimension 1, 2 oder 3 haben; mehr geht im |R3 nicht.
1 isses nicht, das sieht man gleich; dazu müssten alle vektoren von einander vielfache sein.
die idee von klaus mit determinante hat was für sich; ich seh nur den zweck der summenspalte nicht.
wenn es dir gelingt, von den 4 vektoren 3 so auszuwählen, dass sie nebeneinander geschrieben als matrix eine determinante ungleich 0 haben, dann sind diese 3 vektoren von einander linear unabhängig und die dimension der linearen hülle ist 3. wenn das nicht geht, ist die dimension 2.
einfacher als da (4 über 3) = 4 möglichkeiten der vektorenanordnung auszuprobieren (inkl. jeweiliger determinantenberechnung) scheint mir der versuch, vektor3 und vektor4 als linearkombination der sichtlich voneinander linear unabhängigen vektoren v1 und v2 darzustellen. wenn dieser versuch beide mal gelingt, haben wir dimension 2; sonst 3.
z.b.: (1,1,0) =?= s.(3,1,1) + t.(-1,1,-1)
also aufgelöst in die komponenten:
I: 1 = 3s - t
II: 1 = s + t
III: 0 = s - t
aus III folgt s = t, aus II dann s = t = 1/2, das ist mit I verträglich. also:
v3 = 1/2 . v1 + 1/2 . v2
dann: (2,0,1) =?= u.(3,1,1) + v.(-1,1,-1)
I: 2 = 3u - v
II: 0 = u + v
III: 1 = u - v
würde bedeuten:
u = -v (II); u = 1/2 (III); aber widerspruch zu I.
es ist also v4 (im gegensatz zu v3) nicht durch v1 und v2 darstellbar; also hat die lineare hülle aller 4 vektoren die dimension 3.
und jetzt wüsstest du auch, welche 3 vektoren eine determinante ungleich 0 ergeben.
hoffentlich hab ich mich nicht verrechnet; aber das argument als solches müsste passen.
m.
Hallo ich habe vier Vektoren gegeben: v1(3,1,1) ; v2(-1,1,-1)
; v3(1,1,0) ; v4(2,0,1) wie kann ich nun die Dimension des
Aufspanns L(v1,v2,v3,v4) bestimmen?lg Daniel
Dimensionsbestimmung z.B. so: Einfach als Matrix (3x4) und dann wie beim Gauß-Verfahren auf Dreiecksform bringen. Dann bleibt sowas übrig:
(1 x x x
0 1 od0 x x
0 0 1 od.0 x)
Die Anzahl der 1-en auf der Hauptdiag. ist gleich der Dimension.