Liebe Mathe-Experten,
Ich bin leider gar keine Expertin in den Naturwissenschaften und würde mich desehalb freuen, wenn Ihr mir bei diesen
(einfachen?) Aufgaben helfen würdet!
Aufgabe:
Wie bestimmt man die Lösungsmenge zu
x²-4x>-3
und
x²-10x>-30
Vielen lieben Dank für die Hilfe!
Herzliche Grüße
Ann-Katrin Johannsmann
P.S. Ich würde mich sehr über Buchtipps zur Oberstufenmathematik freuen, denn bis zum Abi dauert es bei mir nicht mehr lange!
Hi Ann,
Wie bestimmt man die Lösungsmenge zu
x²-4x>-3
und
x²-10x>-30
das geht so. Die Ungleichungen haben beide die Struktur
x^2 - ax > b
Der einfachste Lösungsweg beginnt damit, auf beiden Seiten die sogenannte „quadratische Ergänzung“ zu addieren; diese ist (a/2)^2.
Die linke Seite der Gleichung wird dann zu
x^2 - ax + (a/2)^2
und das ist dasselbe wie
(x - a/2)^2
Daraufhin kannst Du auf beiden Seiten die Wurzel ziehen, wobei Du unbedingt darauf achten mußt, daß
Wurzel(irgendwas^2) = |irgendwas|
ist. Wenn Du den Betrag vergißt, dann wird’s falsch. An dieser Stelle heißt es also besonders gut aufpassen!
Für
x²-4x>-3
geht die Chose also so:
ist äquivalent zu x^2 - 4x + 4 > -3 + 4
i.ä.zu (x - 2)^2 > 1
i.ä.zu |x-2| > 1
i.ä.zu ( x-2 > 1 oder x-2 3 oder x -30
führt auf
(x-5)^2 > -5
Damit bist Du schon fertig, denn Quadrate sind immer >= 0, also erst recht > -5. Die Lösungsmenge umfaßt hier also alle rellen Zahlen. (Falls bei einer anderen Aufgabe mal was in der Art "(x-3)^2
Hi Ann 
Ich hole mal ein bisschen weiter aus, damit du die Prinzipien verstehst und nicht nur die Aufgabe gelöst bekommst. Fangen wir an mit der Lösung der quadratischen Gleichung :
x² + px + q = 0
Wir addieren zunächst eine Null auf der linken Seite:
x² + px + q + (p²/4 - p²/4) = 0
Jetzt tauschen wir die Terme 3 und 4:
x² + px + p²/4 + q - p²/4 = 0
und bringen nun die beiden letzten Terme auf die andere Seite:
x² + px + p²/4 = p²/4 - q
Die linke Seite können wir als Quadrat schreiben:
(x + p/2)² = p²/4 - q
so dass wir die Wurzel (sqrt) ziehen können:
x + p/2 = +/- sqrt (p²/4 - q)
Jetzt sind wir eigentlich fertig:
x = -p/2 +/- sqrt (p²/4 - q)
Dies ist die berühmte „pq-Formel“ zur Lösung der quadratischen Gleichung x²+px+q=0 … Die solltest du auswendig kennen
Jetzt sind deine Aufgaben relativ leicht.
x² - 4x > -3
h at die gleichen Lösungen wie:
y(x) = x² - 4x + 3 > 0
Die kritischen Punkte sind die Nullstellen der linken Seite. Diese sind nach der pq-Formel:
x = 2 +/- sqrt(4-3) = 2 +/- 1
Die linke Seite wird also 0 bei x=1 und x=3. Für x0, für x>3 ist auch y(x)>0. Für 13 }
Die zweite Aufgabe ist genauso einfach:
x² - 10x > -30
wandeln wir wieder um in:
y(x) = x² - 10x + 30 > 0
Die Nullstellen sind:
x = 5 +/- sqrt (25-30) = 5 +/- sqrt (-5)
Die Wurzel aus (-5) existiert nicht, also hat y(x) keine Nullstellen und befindet sich für alle x entweder oberhalb oder unterhalb der x-Achse. Setzen wir x=0 ein, sehen wir, dass y(x) stets oberhalb der x-Achse liegt, also y(x)>0 für alle x
L = R (Lösungsmenge sind die reellen Zahlen)
Ich hoffe, das war jetzt nicht zu kompliziert
cu Stefan.
Hi Ann,
ich kann immer wieder folgendes Buch empfehlen. Es fängt bei Grundrechenarten an und hört in der hohen Mathematik auf, ist anschaulich geschrieben und hat auch aussagekräftige Beispiele.
Es ist eine Neuauflage eines alten DDR-Buches.
Meyers kleine Enzyklpädie Mathematik,
ISBN 3-411-07771-9 Buch anschauen, Preis (wenn ich mich nicht irre) knapp 50,- DM, das ist gut angelegtes Geld.
Viel Erfolg.
Gruss Volker