hallo!
mich interessiert ob es zur lösung des folgenden problems außer probieren und raten auch noch eine andere möglichkeit gibt.
gegeben ist:
1^3+3^3+5^3+…+(2n-1)^3=20n^3-71n^2+100n-48
ich weiß, dass diese Gleichung n=1,2,3 stimmt. 4 stimmt nicht mehr. kann man das auch rechnerisch beweisen??
lg
gregor
Hallo,
ich haette einen nicht ganz durchdachten Vorschlag (ich poste ihn mal hier, obwohl ich irgendwie das Gefuehl habe, einen Denkfehler zu begehen)
1^3+3^3+5^3+…+(2n-1)^3-20n^3+71n^2-100n+48=0
So wie ich das verstanden habe, willst du dass dein n immer eine natuerliche Zahl ist.
Dann wuerde ich argumentieren: Obige Gleichung ist eine Gleichung in n. Der hoechste auftretende Exponent ist immer eine 3. Das hei"st, dass die Gleichung hoechstens Grad 3 besitzt. Damit hat sie (bzw. das Polynom auf der linken Seite) auch hoechstens 3 Nullstellen. Wenn du nun wei"st, dass 1,2 und 3 Nullstellen sind, dann kann es keine weiteren mehr geben.
Was meint ihr dazu?
Kati
Hallo Kati,
es ist wohl richtig, dass es nur 3 Nullstellen geben kann, also ist das Problem erledigt, wenn du 3 Lösungen hast.
Aber das war nicht die Frage. Die war, die erste (natürliche) Zahl zu finden, für die die Gleichung ungültig ist, wenn man nichts weiss. Und Lösungen müssen ja auch nicht 1,2,3 sein, eine andere Gleichung 3. Grades könnte ja auch für 2 schon falsch sein, oder für 1…
Gruss Reinhard
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Hallo,
OK, dann hatte ich wohl nicht genau gelesen. Ich hatte das Problem so verstanden, dass er wei"s, dass 1,2 und 3 Loesungen sind, ausprobiert hat, dass 4 keine ist und sich nicht sicher ist, ob es nicht vielleicht doch noch irgendwo eine Loesung gibt, die man durch Ausprobieren schlecht findet.
Ich haette wohl den Titel beachten sollen…
Kati
Hallo,
das klingt auf den ersten Blick logisch. Aber ich bin mir auch nicht sicher, ob das so richtig ist. Es ist ja nicht ne einfache Gleichung, wo nur das n ausgetauscht wird. Das n regelt ja auch die Anzahl der Summanden auf der linken Seite. Das n macht also irgendwie noch mehr als ne normale Variable - es steuert auch den Aufbau der Gleichung. Insofern weiß ich nicht, ob die Anzahl der möglichen Lösungen wirklich nur von der höchsten Potenz abhängt.
Vielleicht kann noch mal jemand was dazu sagen, auch wenn das gar nicht die ursprüngliche Frage war.
Olaf
Hallo Olaf (und Kati),
das ist ein berechtigter Einwand, ich habe das auch übersehen. Kati schreibt „die Gleichung“, aber es sind ja 3 verschiedene Gleichungen (für N=1,2,3). Die könnten aber ja 9 Nullstellen haben, nur eben für n=1 ist die 1 dabei usw. Bei Prüfung für n=4 hätte man es dann mit 12 möglichen Nullstellen zu tun, von denen 3 bekannt sind - was aber nichts nützt.
Gruss Reinhard
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Ich hatte ja gleich da Gefühl, dass ch irgendwo einen Denkfehler gemacht habe… 
1^3+3^3+5^3+…+(2n-1)^3=20n^3-71n^2+100n-48
ich weiß, dass diese Gleichung n=1,2,3 stimmt. 4 stimmt nicht
mehr. kann man das auch rechnerisch beweisen??
Das schreit meiner Meinung nach einer Vollständigen Induktion.
Damit sollte man es vermutlich belegen oder wiederlegen können.
Ich hatte ja gleich da Gefühl, dass ch irgendwo einen
Denkfehler gemacht habe…
Hallo, bewahr dir das Gefühl - RICHTIGE Mathematiker wissen immer aus dem Bauch heraus, was herauskommen muss, und denken dann erst darüber nach, ob und wie man es beweisen kann 
Gruss Reinhard
hi!
vollständige induktion hab ich bereits durchgeführt. aber damit komm ich auch nicht auf mein kleinstes n, für welches die gleichung nicht mehr stimmt!
lg gregor
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hi!
vollständige induktion hab ich bereits durchgeführt. aber
damit komm ich auch nicht auf mein kleinstes n, für welches
die gleichung nicht mehr stimmt!
lg gregor
Stimmt, ich hatte die Frage nicht korrekt gelesen …
Ich wechsel dann zum Lager ‚x-Nullstellen‘ über. Alles was dafür fehlt ist eine geschlossene Form der linken Seite. Aber wie man die findet … Man könnte verschieden n’s Einsetzen und ein Polynom durchlegen, und dann schauen, ob es sich mit vollständiger Induktion als allgemeingültig beweisen läßt