Wir haben im Mathematik Unterricht Wertebereiche durchgenommen.
Dabei gab es beispielsweise bei der Funktion
f(x)= 1/(x^2-4) 6 Grenzwerte:
lim=0
x-> unendlich
lim-2
x-> -0,25
lim=2
x-> unendlich
lim=-2
x-> minus unendlich
lim=-0,25
x-> -0,5
lim=0,25
x-> 0,5
Ich denke es ist nicht so kompliziert, aber im Unterricht habe ich es nicht ganz verstanden und in meinem Lehrbuch ist alles ganz anders erklärt.
Ich würde mich riesig über Antworten freuen. Am besten wäre es, wenn ihr alles Schritt für Schritt erklären würdet.
Vielen Dank schon mal im Vorraus.
Eure Anni
irgendwas hast Du da falsch abgeschrieben oder falsch verstanden.
Wir haben im Mathematik Unterricht Wertebereiche
durchgenommen.
Man will herausfinden, welche Werte die Funktion (also das y) überhaupt annehmen kann. Allgemein werden das alle (reellen) Zahlen zwischen - und + Unendlich sein. Aber es kann sein, dass bestimmte Bereiche niemals vorkommen können, egal welchen Wert x hat.
Zunächst überprüft man mal, was das y macht, wenn x unendlich groß (+ oder -) wird. Wie Ihr das in der Schule behandelt habt, weiß ich nicht. In vielen Grundkursen wird es so gemacht: Man setzt für x immer größere Werte ein und berechnet y mit dem Taschenrechner. Dann sieht man meist, wohin die Reise geht. Also ob y auch z.B. riesengroß wird oder ob es sich bei einem bestimmten Wert (z.B. bei 0) einpendelt. In diesem Fall hier ist das so. Der limes der Funktion ist 0, wenn x gegen + oder - unendlich geht.
Dann hat Deine Funktion noch eine Besonderheit. Sie ist bei x = 2 und bei x = -2 nicht definiert, weil man da durch 0 dividieren müsste. Der Graph der Funktion hat also da ein „Loch“, eine Definitionslücke. Interessant ist es nun zu untersuchen, was die Funktion macht, wenn sie in die Nähe eines solchen Loches kommt. Da gibt es hier 4 Möglichkeiten: x kann ein bisschen größer als 2 sein, oder ein bisschen kleiner, oder ein bisschen größer als -2 oder eben ein bisschen kleiner. Diese 4 Fälle musst Du also auch untersuchen, z.B. wieder durch Probieren mit dem Taschenrechner. Du setzt also z.B. x = 2,001 ein und siehst, dass da y riesengroß werden kann. Der Grenzwert der Funktion wäre hier also unendlich. Die Funktion hat bei x = ± 2 je eine senkrechte Asymptote.
Reicht das erstmal?
Für die Freaks: Die Methode des Probierens mit dem Taschenrechner ist unelegant, wird aber leider in der Schule oft so gemacht.
Für die Freaks: Die Methode des Probierens mit dem
Taschenrechner ist unelegant, wird aber leider in der Schule
oft so gemacht.
zu Recht sagst du „unelegant“ und „leider“.
Aber wenn das „in der Schule oft so gemacht“ wird und es außerdem nicht so gut ist, dann sollte man es nicht noch außerhalb der Schule predigen.
Das wäre sonst widersprüchlich.
Na gut, man mag sich vielleicht das denken:
Lieber den Spatz in der Hand als die Taube aufm Dach.
Die kompliziertere Methode zu verklickern ist schwieriger.
Wer weiß, ob da was hängen bleibt?
Ob sich das überhaupt auszahlt?
Es geht ja auch so ganz gut.
Find’ ich nich’ gut.
Da macht man doch den gleichen Fehler wie die Schulen.
Oder nicht, Olaf?
Bei der Wertebereich-Analyse sind - wie Olaf schon sagte - viele Dinge wissenswert:
Nullstellen (des Zählers, evtl. des Nenners [entspricht Definitionslücke]), Verhalten im Unendlichen (bzw. Verhalten an den Enden des Definitionsbereiches), Asymptoten (senkrechte, schräge)…
Um den Wertebereich bestimmen zu können benötigst Du zwei Dinge.
Extremstellen
Grenzverhalten(Fernverhalten und Asymptoten)
Wenn Du die Kurve mit diesen Daten skizzierst siehst Du schon welche y-Werte vorkommen können und welche nicht.
Übrigens, bei allen Funktionen die weder Sprünge noch Lücken haben geht der Wertebereich immer vom globalen Minimum bis zum globalen Maximum.
Zu Deiner Funktion:
Aus der Kurvendiskusion die Extrempunkte
Es gibt 2 Lücken, diese sind bei 2 und -2
Also benötigst Du 6 Grenzwerte +oo; -oo; von oben gegen 2; von unten gegen 2 von oben gegen -2; von von unten gegen -2;
Skizze anfertigen und gut ist.
Ich habe das nicht ausgerechnet also ist folgende Lösung definitiv falsch!!
Angenommen Hochpunkt bei (8/4) und Tiefpunkt bei (-1/-6)