Bestimmung von Nullstellen

Wissenschaft Mathematik
#1

Moin,

Ich komme gerade bei folgenden Aufgaben nicht weiter. Es sollen die Nullstellen bestimmt werden…

f(x)=(1-2x)(x-2)
Hier würde ich x ausklammern, aber wie? Und wie komme ich dann an die Nullstellen?

(0,4u-1,2)(u²+4) Hier weiß ich mit der Potenz nix anzufangen (aber vom Prinzip ist die der 1. Aufg ähnlich).

1/2x+2/3x² wie hier vorgehen?

In der nächsten Aufgabe geht es um Substitution…
Was ich dazu schon sagen kann: x² wird durch z ersetzt um die gleichung mit der pq-Formel lösen zu können. Stimmt das? Und wie funktioniert das in der Praxis?

f(x)=x^4-13x²+36
f(x) =16x^4-40x²+9
f(x) = (x+1)³+(x+1)²-6(x+1)

In einer weiteren Aufgabe sollen die Nullstellen „durch gezieltes Probieren“ bestimmt werden. Das geht angeblich mit Zahlen zw. -5 bis +5. Soviel weiß ich…

f(x)=x³-6x²+11x-6

Ich habe mir bereits nen Wolf gegoogled und komme einfach nicht drauf…

Bin für Denkanstöße sehr dankbar.

Mfg

#2

Hey Rochen,

also mal eins nach dem anderen:

f(x)=(1-2x)(x-2)

Wenn du dies ausklammern würdest, machst du dir die ganze Sache nur schwieriger. Überleg dir mal: Ein Produkt soll 0 sein - was muss dann für die Faktoren gelten?

(0,4u-1,2)(u²+4)

Genau. Hier hast du desselbe Problem, aber wieder ist die Lösung einfacher zu berechnen, wenn man sich um die Faktoren einzeln kümmert.

1/2x+2/3x²

Sollte das auch gleich 0 gesetzt werden? Wenn ja, mit dem Hauptnenner durchmultiplizieren und dann bekommst du ein ganzrationalen Term, welcher relativ leicht zu lösen ist.

f(x)=x^4-13x²+36

Solche Aufgaben sind immmer ein perfektes Anwendungsgebiet für Substitution, wie du sie beschrieben hast.
Was passiert denn, wenn du z für x² einsetzt?

f(x)=z^2-13z+36

Also eine Gleichung zweiten Grades mit Leitkoeffizient 1 --> genau die Voraussetzungen für pq-Formel.
Damit berechnest du dann deine Lösungen für z, aber eigentlich interessieren dich ja die Lösungen für x. Deswegen muss man danach noch rücksubstituieren, d.h. du setzt wieder z = x² und berechnest dann x (also nur Wurzel aus z).

f(x)=x³-6x²+11x-6

Da man in der Schule nur die explizite Formel für Gleichungen zweiten Grades lernt, muss man sich bei Gleichungen dritten Grades anders helfen. Dazu muss gesagt sein, dass bei Aufgaben dieser Art immer (bzw sehr sehr oft) ganzzahlige Lösungen vorliegen.
Ein kleiner Tipp von mir, wie du die Lösungen eventuell schneller bestimmen kannst: Bestimme die Teiler des konstanten Terms und untersuche, ob es sich bei diesen um Nullstellen handelt.
Also in deinem Beispiel ist der konstante Term 6 und die Teiler davon:
-1, 1, -2, 2, -3, 3, -6 und 6

Ich hoffe, du hast ein paar Denkanstöße bekommen.
Viel Erfolg
Gruß René

#3

Moin,

f(x)=(1-2x)(x-2)

rechts steht ein Produkt, das 0 werden soll. Das geht nur, wenn einer der Faktoren = 0 ist. Damit erhälst Du 2 Fälle, jeder führt zu einer Nullstelle.

(0,4u-1,2)(u²+4) Hier weiß ich mit der Potenz nix anzufangen
(aber vom Prinzip ist die der 1. Aufg ähnlich).

Richtig, jede Klammer = 0 setzen.

1/2x+2/3x² wie hier vorgehen?

Je nachdem, wie es gemeint ist … x ausklammern oder 1/x.

In der nächsten Aufgabe geht es um Substitution…

Was ich dazu schon sagen kann: x² wird durch z ersetzt um die
gleichung mit der pq-Formel lösen zu können. Stimmt das? Und
wie funktioniert das in der Praxis?

f(x)=x^4-13x²+36

f(x) =16x^4-40x²+9

Na ersetze doch mal x2 durch z, dann wirst Du schon sehen.

f(x) = (x+1)³+(x+1)²-6(x+1)

(x+1) durch z ersetzen, dann z ausklammern.

In einer weiteren Aufgabe sollen die Nullstellen „durch
gezieltes Probieren“ bestimmt werden. Das geht angeblich mit
Zahlen zw. -5 bis +5. Soviel weiß ich…

f(x)=x³-6x²+11x-6

Richtig, nun probiere doch mal.

Ich habe mir bereits nen Wolf gegoogled und komme einfach
nicht drauf…

Nicht googlen, probieren und rechnen.

Gute Nacht.
Olaf

#4

Auch Moin,
noch zu so später Stunde an den Hausaufgaben ?

Es sollen die Nullstellen bestimmt werden…
f(x)=(1-2x)(x-2)

Überleg mal : Ein Produkt ist dann Null, wenn ein Faktor Null ist.
Oder:

Hier würde ich x ausklammern, aber wie?

Einfach ausmultiplizieren, ergibt eine quadratische Gleichung.

Und wie komme ich dann an die Nullstellen?

Schon die alten Griechen wussten, wie die zu lösen ist.

(0,4u-1,2)(u²+4) Hier weiß ich mit der Potenz nix anzufangen (aber vom Prinzip ist die der 1. Aufg ähnlich).

Siehe meine erste Anmerkung.

1/2x+2/3x² wie hier vorgehen?

mit x² multipliziert sieht das viel besser aus

In der nächsten Aufgabe geht es um Substitution…
Was ich dazu schon sagen kann: x² wird durch z ersetzt um die
gleichung mit der pq-Formel lösen zu können. Stimmt das? Und
wie funktioniert das in der Praxis?
f(x)=x^4-13x²+36
f(x) =16x^4-40x²+9

Dann mach das doch.

f(x) = (x+1)³+(x+1)²-6(x+1)

und setze hier doch mal z=(x+1)
Und hier sieht doch der Blinde schon mit dem Krückstock, wo eine Nullstelle ist !

In einer weiteren Aufgabe sollen die Nullstellen „durch
gezieltes Probieren“ bestimmt werden. Das geht angeblich mit
Zahlen zw. -5 bis +5. Soviel weiß ich…
f(x)=x³-6x²+11x-6
Ich habe mir bereits nen Wolf gegoogled und komme einfach nicht drauf…

Googel taugt eben nicht für Mathe-Aufgaben. Nutze deinen Grips, bzw deine Fähigkeit im Kopfrechnen. Setze mal für x eine der Zahlen ein. Oft sind die Lösungen von solchen Hausaufgaben sogar ganzzahlig !
Gruß
Karl

#5

Erstmal thx.

Ich habe bei der ersten Aufg. alles =0 gesetzt und für x einmal 0,5 und einmal 2 genommen.
Das wären sollten die Nullstellen sein, oder?

#6

Richtig!
Hey Rochen,

genau richtig.

Gruß René

#7

Habe bei f(x)=1/2x+2/3x² nun als Nullstellen 0 und -4/3 rausbekommen. Stimmt das so?
Nächste Aufgabe: f(t)=2t²-(1+sqrt/2)t … keine Nullstellen?! bzw 0 ?!
Hatte vor dem rechnen zu 2t²-2,414t „umgeformt“. Darf man das zu -0,59t zusammenfassen (immer noch mit dem Ergebniss dass es nur die Nullstelle 0 gibt) ?

#8

moin;

f(x)=\frac{1}{2}x+\frac{2}{3}x^2=x\cdot \left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}x\right)

Die Nullstelle 0 ist also richtig, bei der zweiten solltest du noch einmal überprüfen, ob -4/3 wirklich die Nullstelle von 1/2+2x/3 ist.

f(t)=2t^2-(1+\sqrt{2})\cdot t=t\cdot \left( 2t-1-\sqrt{2}\right)

f(t) hat also die Nullstellen 0 und die Lösung der Gleichung 0=2t-1-sqrt(2) 2t=1+sqrt(2).

Hatte vor dem rechnen zu 2t²-2,414t „umgeformt“. Darf man das zu -0,59t

In dieser Form umformen darfst du (auch wenn 2,414t gerundet ist), allerdings darfst du das so nicht zusammenfassen. t² ist etwas anderes als t, außerdem wäre 2-2,414=-0,414.

mfG