Beta- Zerfall des Tritium- Atoms

Wissenschaft Physik
#1

Hallo,

von mir zu behandeln ist der Beta- Zerfall des Tritium- Atoms; es ist das schwerste Wasserstoff- Isotop.
Es hat die Kernladungszahl Z = 1, ist radioaktiv, hat eine Halbwertszeit von 12,3 Jahren und zerfällt
über Beta- Zerfall in ein Helium- Isotop mit der Kernladungszahl Z = 2 nach der Faustformel wie folgt:

http://s7.directupload.net/images/110703/o2i34wv9.jpg (G1)

Hierbei ist ν ein Antineutrino und prinzipiell zerfällt dabei im Tritium ein Neutron nach der Formel:

http://s1.directupload.net/images/110703/yncvi7vx.jpg

Die mittlere kinetische Energie des Beta- Elektrons liegt bei rund 5,6 keV bis maximal 18,59 keV.
Mit Beta- Elektron ist das Elektron bezeichnet, das aus dem Zerfall des Neutrons im Kern entsteht.
Zusätzlich gibt es noch das atomare Eleketron, das ursprüngliche, einzige Elektron im Tritium- Atom.
Nach dem Beta- Zerfall ist dieses Elektron Teil des Helium- Isotops auf der rechten Seite von G1.

Der Atomkern sei nun unendlich schwer und die Ionisierungsenergie, bezeichnet als E_IP, lautet:

http://s1.directupload.net/images/110703/5bl2bz3n.jpg

Hierbei ist e die Elementarladung und α = 1/137 die Feinstrukturkonstante. Der Bohr- Radius ist:

http://s7.directupload.net/images/110703/ydadbwar.jpg

Dieser ist der Radius des Grundzustandselektrons im 1- H Wasserstoff. Die Wellenfunktion des
Elektrons von im Grundzustand von 3- H ist identisch der von 1- H, sie lautet also wie folgt:

http://s7.directupload.net/images/110703/p45khbc7.jpg (G2)

Der Zerfall erfolgt praktisch instantan, das Beta- Elektron verlässt den Kern und das Atom mit
hoher Geschwindigkeit. So bildet sich der Helium- Isotop- Atomkern zu einer Zeit, da das Elektron
noch im Zustand des atomaren Elektrons im 3H ist, im Orbital von G2. Mit | n, l, m > bezeichne
man elektronische Zustände des ioonisierten Helium- Atoms. Es ist Wasserstoff- artig, hat aber Z = 2.

Das ist der Hintergrund. Nun kommen die Fragen. Ich brauche Ansätze, Tipps, einen Überblick, ich
verlange nicht, dass mir einer von Euch das einfach dahinklatscht. Ich will das verstehen und vor
allem will ich das mehr oder minder alleine hinbekommen. Ich brauche aber Unterstützung. Bitte.

Frage 1:

Während des Beta- Zerfalls ändert sich der Potential- Term im Hamiltonian des atomaren Elektrons
plötzlich. Geben Sie den Hamiltonian für das atomare Elektron, Ham1, und nach dem Zerfall, Ham2, an.

Frage 2:

Geben Sie die elektronischen Energiezustände des 3He+ - Ion in Einheiten von E_IP und als Funktion der
Hauptquantenzahlen an.

Frage 3:

Geben Sie den Bohr- Radius und die Grundzustands- Wellenfunktion des Elektrons, ϕ100®, von 3He+ an.

Frage 4:

Berechnen Sie den Erwartungswert für die Energie des atomaren Elektrons, , nach dem Zerfall.
Benutzen Sie den Umstand, dass Ham2 = http://s7.directupload.net/images/110703/jal5uld8.jpg

Frage 5:

http://s1.directupload.net/images/110703/pg72d8qy.jpg

Frage 6:

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, p1 = p(1, 0, 0), dass das atomare Elektron sich im Grundzustand
von 3He+ befindet. Wie groß ist dieser Beitrag (= p1 E1) zum Erwartungswert ?

Gruß.

#2

Frage 1:

Während des Beta- Zerfalls ändert sich der Potential- Term im
Hamiltonian des atomaren Elektrons
plötzlich. Geben Sie den Hamiltonian für das atomare Elektron,
Ham1, und nach dem Zerfall, Ham2, an.

Wie sieht denn der Potentialterm in Abhängigkeit von der Kernladungszahl Z aus?

Frage 2:

Geben Sie die elektronischen Energiezustände des 3He+ - Ion in
Einheiten von E_IP und als Funktion der
Hauptquantenzahlen an.

E=-1/2 * Z^2/n^2 (in atomaren Einheiten)

Frage 3:

Geben Sie den Bohr- Radius und die Grundzustands-
Wellenfunktion des Elektrons, ϕ100®, von 3He+ an.

Der Bohrradius ist meiner Ansicht nach eine Konstante…
Die Wellenfunktion von 3He+ ist identisch zu der des H-Atoms.

Frage 4:

Berechnen Sie den Erwartungswert für die Energie des atomaren
Elektrons, , nach dem Zerfall.
Benutzen Sie den Umstand, dass Ham2 =
http://s7.directupload.net/images/110703/jal5uld8.jpg

E=

Frage 5:

http://s1.directupload.net/images/110703/pg72d8qy.jpg

Stichwort: Orthogonalität

Frage 6:

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, p1 = p(1, 0, 0), dass
das atomare Elektron sich im Grundzustand
von 3He+ befindet. Wie groß ist dieser Beitrag (= p1 E1) zum
Erwartungswert ?

Das sollte dann kein großes Problem mehr darstellen.

#3

Vorab: Vielen herzlichen DANK, dass Du Dich meiner annimmst!

Frage 1:

Während des Beta- Zerfalls ändert sich der Potential- Term im
Hamiltonian des atomaren Elektrons
plötzlich. Geben Sie den Hamiltonian für das atomare Elektron,
Ham1, und nach dem Zerfall, Ham2, an.

Wie sieht denn der Potentialterm in Abhängigkeit von der
Kernladungszahl Z aus?

Verwirrend finde ich hier die Bezeichung „atomares Elektron“.
Was soll ich mir darunter vorstellen? Der Potentialterm müsste
doch lauten V® = - (Z*e²)/r, ein Elektron im elektrischen
Feld einer Ladung Z*e (Coulomb- Feld), … stimmt das nicht?
Und nach dem Zerfall hat das Atom eben ein Elektron weniger
und ein Proton mehr, da das Neutron zu einem Elektron und
zu einem Proton zerfallen ist, wobei aber das Elektron den
Servus aus dem Atom macht.

Frage 2:

Geben Sie die elektronischen Energiezustände des 3He+ - Ion in
Einheiten von E_IP und als Funktion der
Hauptquantenzahlen an.

E=-1/2 * Z^2/n^2 (in atomaren Einheiten)

Wie kommst Du auf diese Gleichung? Sie sieht stark nach der
Balmer- Formel für Wasserstoff und wasserstoff- ähnliche aus.
Ich soll die Energie- Zustände in Abhängigkeit von E_IP ,
der Ionisierungsenergie, angeben, welche lautet:
http://s1.directupload.net/images/110703/5bl2bz3n.jpg

Frage 3:

Geben Sie den Bohr- Radius und die Grundzustands-
Wellenfunktion des Elektrons, ϕ100®, von 3He+ an.

Der Bohrradius ist meiner Ansicht nach eine Konstante…
Die Wellenfunktion von 3He+ ist identisch zu der des H-Atoms.

Zum Bohr- Radius: Dieser ist doch eigentlich auch in den Hinter-
grund- Informationen schon gegeben, nicht? Siehe hierzu den Link:
http://s7.directupload.net/images/110703/ydadbwar.jpg
Ist dieser nicht vor und nach dem zerfall anders, da, wie oben
erwähnt, ein Elektron verschwindet (m*e² ändert sich dann)?

Zur Wellenfunktion: Aber nur im Grundzustand sind diese identisch?

Frage 4:

Berechnen Sie den Erwartungswert für die Energie des atomaren
Elektrons, , nach dem Zerfall.
Benutzen Sie den Umstand, dass Ham2 =
http://s7.directupload.net/images/110703/jal5uld8.jpg

E=

Meinst Du damit eher = ? Dieser Bra- Ket- Notation
ist für mich noch ziemlich verwirrend. Was bedeutet das ausgeschrieben?

Frage 5:

http://s1.directupload.net/images/110703/pg72d8qy.jpg

Stichwort: Orthogonalität

Könntest Du Deine Gedanken bitte etwas weiter ausführen?

Frage 6:

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, p1 = p(1, 0, 0), dass
das atomare Elektron sich im Grundzustand
von 3He+ befindet. Wie groß ist dieser Beitrag (= p1 E1) zum
Erwartungswert ?

Das sollte dann kein großes Problem mehr darstellen.

Ich denke, dazu sollten wir erst zum Schluss kommen. Ich muss erst
einmal verstehen, was da prinzipiell passiert, worauf ich achten muss,
was ich als gegeben ansehen kann, wie ich das weiterentwickle, usw…
Ich hoffe auf weitere Hilfe Deiner- und Eurerseits, das hat mir schon
einmal etwas geholfen und ich bin glücklich, dass ich leichte Ansätze sehe.

#4

Vorab: Vielen herzlichen DANK, dass Du Dich meiner annimmst!

Bitteschön.

Frage 1:

Während des Beta- Zerfalls ändert sich der Potential- Term im
Hamiltonian des atomaren Elektrons
plötzlich. Geben Sie den Hamiltonian für das atomare Elektron,
Ham1, und nach dem Zerfall, Ham2, an.

Wie sieht denn der Potentialterm in Abhängigkeit von der
Kernladungszahl Z aus?

Verwirrend finde ich hier die Bezeichung „atomares Elektron“.
Was soll ich mir darunter vorstellen? Der Potentialterm müsste
doch lauten V® = - (Z*e²)/r, ein Elektron im elektrischen
Feld einer Ladung Z*e (Coulomb- Feld), … stimmt das nicht?
Und nach dem Zerfall hat das Atom eben ein Elektron weniger
und ein Proton mehr, da das Neutron zu einem Elektron und
zu einem Proton zerfallen ist, wobei aber das Elektron den
Servus aus dem Atom macht.

„Atomares Elektron“ ist wirklich eine verwirrende Bezeichnung, gemeint ist wohl das Elektron, das beim Kern bleibt. Der Potentialterm lautet tatsächlich V®=-Z/r, wobei Z die Kernladungszahl darstellt. Nun musst du dir nur noch überlegen, wie diese sich von Tritium zu He+ verändert.

Frage 2:

Geben Sie die elektronischen Energiezustände des 3He+ - Ion in
Einheiten von E_IP und als Funktion der
Hauptquantenzahlen an.

E=-1/2 * Z^2/n^2 (in atomaren Einheiten)

Wie kommst Du auf diese Gleichung? Sie sieht stark nach der
Balmer- Formel für Wasserstoff und wasserstoff- ähnliche aus.

Ich hoffe, es sieht nicht nur so aus :wink:. He+ ist wasserstoffähnlich (nur ein Elektron).

Ich soll die Energie- Zustände in Abhängigkeit von E_IP ,
der Ionisierungsenergie, angeben, welche lautet:
http://s1.directupload.net/images/110703/5bl2bz3n.jpg

Das sollte kein Problem sein. E_IP=-1/2.

Frage 3:

Geben Sie den Bohr- Radius und die Grundzustands-
Wellenfunktion des Elektrons, ϕ100®, von 3He+ an.

Der Bohrradius ist meiner Ansicht nach eine Konstante…
Die Wellenfunktion von 3He+ ist identisch zu der des H-Atoms.

Zum Bohr- Radius: Dieser ist doch eigentlich auch in den
Hinter-
grund- Informationen schon gegeben, nicht? Siehe hierzu den
Link:
http://s7.directupload.net/images/110703/ydadbwar.jpg
Ist dieser nicht vor und nach dem zerfall anders, da, wie oben
erwähnt, ein Elektron verschwindet (m*e² ändert sich dann)?

Nein, der Bohrsche Radius berechnet sich nur aus Konstanten. m ist die Masse eines Elektrons, e die Elementarladung. Der Bohrsche Radius ändert sich nur, wenn man relativistische Effekte berücksichtigt, da die Masse eines Teilchens abhängig von dessen Geschwindigkeit ist.

Zur Wellenfunktion: Aber nur im Grundzustand sind diese
identisch?

Nein, immer. Der Hamiltonian unterscheidet sich nur um einen skalaren Faktor im Potential. Somit hat man dieselben Eigenfunktionen, aber die Energie ist unterschiedlich.

Frage 4:

Berechnen Sie den Erwartungswert für die Energie des atomaren
Elektrons, , nach dem Zerfall.
Benutzen Sie den Umstand, dass Ham2 =
http://s7.directupload.net/images/110703/jal5uld8.jpg

E=

Meinst Du damit eher = ? Dieser Bra- Ket-
Notation
ist für mich noch ziemlich verwirrend. Was bedeutet das
ausgeschrieben?

E==Int phi^* Ham2 phi d tau
Int d tau bedeutet hierbei Integration über den kompletten Raum.

Frage 5:

http://s1.directupload.net/images/110703/pg72d8qy.jpg

Stichwort: Orthogonalität

Könntest Du Deine Gedanken bitte etwas weiter ausführen?

Wie lauten denn Y_l^m bei phi_0? Wann ist Y_l^m orthogonal zu Y_l’^m’.
Alternative zum reinen Verständnis ohne Rechnung: Welchem Orbital entspricht l=1 und m=1? Welchem Orbital entsprich l=0 und m=0? Wie sieht es mit deren Orthogonalität aus?

Frage 6:

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, p1 = p(1, 0, 0), dass
das atomare Elektron sich im Grundzustand
von 3He+ befindet. Wie groß ist dieser Beitrag (= p1 E1) zum
Erwartungswert ?

Das sollte dann kein großes Problem mehr darstellen.

Ich denke, dazu sollten wir erst zum Schluss kommen. Ich muss
erst
einmal verstehen, was da prinzipiell passiert, worauf ich
achten muss,
was ich als gegeben ansehen kann, wie ich das weiterentwickle,
usw…
Ich hoffe auf weitere Hilfe Deiner- und Eurerseits, das hat
mir schon
einmal etwas geholfen und ich bin glücklich, dass ich leichte
Ansätze sehe.

Das ist nur ausrechnen…

#5

Entschuldige bitte meine verspätete Antwort, denn ich habe
leider keine Benachrichtigung erhalten. Kurze Zusammenfassung:

Man hat also ein Wasserstoff- Isotop, in diesem Fall das schwerste,
Tritium, welches die Kernladungszahl Z = 1 besitzt. Es ist instabil,
zerfällt demnach, über einen Beta- Zerfall, zu einem Helium- Ion,
das positiv geladen ist; da ein Neutron im Kern des Tritium in ein
Proton, ein Elektron und ein Antineutrino zerfällt, haben wir dann
auf der rechten Seite des Prozesses ein 3He± Ion, ein Elektron
und ein Antineutrino. BTW: Was bedeutet denn die Zahl links oben am H/He?
Ist es richtig, dass das „atomare Elektron“ auch nach dem Zerfall weiterhin
Bestandteil des 3He± Ions ist, und das Elektron Beta- Elektron (wir
erinnern uns: das ist das Elektron, was bei dem Zerfall des Neutrons
entsteht) abhaut? Unterscheiden sich demnach Tritium und 3He+ nur dadurch,
dass letzteres praktisch ein Neutron weniger, dafür ein Proton mehr hat?!

Vorab: Vielen herzlichen DANK, dass Du Dich meiner annimmst!

Bitteschön.

Frage 1:

Während des Beta- Zerfalls ändert sich der Potential- Term im
Hamiltonian des atomaren Elektrons
plötzlich. Geben Sie den Hamiltonian für das atomare Elektron,
Ham1, und nach dem Zerfall, Ham2, an.

Wie sieht denn der Potentialterm in Abhängigkeit von der
Kernladungszahl Z aus?

Verwirrend finde ich hier die Bezeichung „atomares Elektron“.
Was soll ich mir darunter vorstellen? Der Potentialterm müsste
doch lauten V® = - (Z*e²)/r, ein Elektron im elektrischen
Feld einer Ladung Z*e (Coulomb- Feld), … stimmt das nicht?
Und nach dem Zerfall hat das Atom eben ein Elektron weniger
und ein Proton mehr, da das Neutron zu einem Elektron und
zu einem Proton zerfallen ist, wobei aber das Elektron den
Servus aus dem Atom macht.

„Atomares Elektron“ ist wirklich eine verwirrende Bezeichnung,
gemeint ist wohl das Elektron, das beim Kern bleibt. Der
Potentialterm lautet tatsächlich V®=-Z/r, wobei Z die
Kernladungszahl darstellt. Nun musst du dir nur noch
überlegen, wie diese sich von Tritium zu He+ verändert.

Ja, damit ist das Elektron, das anfänglich beim Tritium dabei ist,
und nach dem Zerfall immer noch Bestandteil des 3He± Ions ist,
bezeichnet. Da wir den Atomkern als unendlich schwer annehmen,
wird wohl nur auf dieses Elektron, also „atomares Elektron“,
eingegangen. Du sagst, dass der Potentialterm V® = - Z/r ist,
ich hingegen schrieb, dass es sich um V® = - (Z*e²)/r handelt.
Was stimmt denn nun und vor allem: warum stimmt es? Und wie
unterscheidet sich dieser nun von vor und nach dem Zerfall?
Ich muss schließlich Ham1 und Ham2 aufschreiben und habe bisher nichts.

Frage 2:

Geben Sie die elektronischen Energiezustände des 3He+ - Ion in
Einheiten von E_IP und als Funktion der
Hauptquantenzahlen an.

E=-1/2 * Z^2/n^2 (in atomaren Einheiten)

Wie kommst Du auf diese Gleichung? Sie sieht stark nach der
Balmer- Formel für Wasserstoff und wasserstoff- ähnliche aus.

Ich hoffe, es sieht nicht nur so aus :wink:. He+ ist
wasserstoffähnlich (nur ein Elektron).

Ich soll die Energie- Zustände in Abhängigkeit von E_IP ,
der Ionisierungsenergie, angeben, welche lautet:
http://s1.directupload.net/images/110703/5bl2bz3n.jpg

Das sollte kein Problem sein. E_IP=-1/2.

Da 3He+ wasserstoff- ähnlich ist, kann ich einfach die Balmer-
Formel hinschreiben? Und wie baue ich da nun E_IP ein? Wie kommst
Du darauf, dass E_IP = -1/2 ist?

Frage 3:

Geben Sie den Bohr- Radius und die Grundzustands-
Wellenfunktion des Elektrons, ϕ100®, von 3He+ an.

Der Bohrradius ist meiner Ansicht nach eine Konstante…
Die Wellenfunktion von 3He+ ist identisch zu der des H-Atoms.

Zum Bohr- Radius: Dieser ist doch eigentlich auch in den
Hinter-
grund- Informationen schon gegeben, nicht? Siehe hierzu den
Link:
http://s7.directupload.net/images/110703/ydadbwar.jpg
Ist dieser nicht vor und nach dem zerfall anders, da, wie oben
erwähnt, ein Elektron verschwindet (m*e² ändert sich dann)?

Nein, der Bohrsche Radius berechnet sich nur aus Konstanten. m
ist die Masse eines Elektrons, e die Elementarladung. Der
Bohrsche Radius ändert sich nur, wenn man relativistische
Effekte berücksichtigt, da die Masse eines Teilchens abhängig
von dessen Geschwindigkeit ist.

Ja, Du hast Recht. a_0: Bohr- Radius muss eine Konstante sein.
Allerdings frage ich mich dann, wieso das gefragt wird.

Zur Wellenfunktion: Aber nur im Grundzustand sind diese
identisch?

Nein, immer. Der Hamiltonian unterscheidet sich nur um einen
skalaren Faktor im Potential. Somit hat man dieselben
Eigenfunktionen, aber die Energie ist unterschiedlich.

OK, ich verstehe. Der Ham (also Ham1 zu Ham2) unterscheidet
sich nur durch einen skalaran Faktor. Daher sind die Wellen-
funktion vom 3He+ zu Tritium identisch. Die Energie ist
unterschiedlich. Aber darüber diskutieren wir ja sowieso
gerade in Frage 1 / 2 …

Frage 4:

Berechnen Sie den Erwartungswert für die Energie des atomaren
Elektrons, , nach dem Zerfall.
Benutzen Sie den Umstand, dass Ham2 =
http://s7.directupload.net/images/110703/jal5uld8.jpg

E=

Meinst Du damit eher = ? Dieser Bra- Ket-
Notation
ist für mich noch ziemlich verwirrend. Was bedeutet das
ausgeschrieben?

E==Int phi^* Ham2 phi d tau
Int d tau bedeutet hierbei Integration über den kompletten
Raum.

Also ein Integral berechnen. Einfach die Formel für den
Erwartungswert einer physikalischen Größe benutzen.

Frage 5:

http://s1.directupload.net/images/110703/pg72d8qy.jpg

Stichwort: Orthogonalität

Könntest Du Deine Gedanken bitte etwas weiter ausführen?

Wie lauten denn Y_l^m bei phi_0? Wann ist Y_l^m orthogonal zu
Y_l’^m’.
Alternative zum reinen Verständnis ohne Rechnung: Welchem
Orbital entspricht l=1 und m=1? Welchem Orbital entsprich l=0
und m=0? Wie sieht es mit deren Orthogonalität aus?

Zum Rest komme ich später … wieder Vorlesung …

#6

Frage 1
Was bedeutet denn die Zahl links oben am H/He?

links unten: Dass ist die Ordnungszahl (= Anzahl Protonen im Kern)
links oben : Die Summe aus Protonen und Neutronen im Kern.

Ist es richtig, dass das „atomare Elektron“ auch nach dem
Zerfall weiterhin
Bestandteil des 3He± Ions ist, und das Elektron Beta-
Elektron (wir
erinnern uns: das ist das Elektron, was bei dem Zerfall des
Neutrons
entsteht) abhaut?

Ja!

Unterscheiden sich demnach Tritium und 3He+
nur dadurch,
dass letzteres praktisch ein Neutron weniger, dafür ein Proton
mehr hat?!

Ja!

Ja, damit ist das Elektron, das anfänglich beim Tritium dabei
ist,
und nach dem Zerfall immer noch Bestandteil des 3He± Ions
ist,
bezeichnet. Da wir den Atomkern als unendlich schwer annehmen,
wird wohl nur auf dieses Elektron, also „atomares Elektron“,
eingegangen. Du sagst, dass der Potentialterm V® = - Z/r
ist,
ich hingegen schrieb, dass es sich um V® = - (Z*e²)/r
handelt.
Was stimmt denn nun und vor allem: warum stimmt es?

Beides ist richtig. Dein Ausdruck ist in SI-Einheiten, meiner in atomaren Einheiten. In atomaren Einheite ist die Elementarladung e Eins. Sorry, ich bin atomare Einheiten gewohnt, damit rechnet es sich einfacher und die Zahlen sind besser handzuhaben. Einigen wir uns auf die SI-Einheiten, dann ist
V® = - (Z*e²)/r
Warum es stimmt, nun ja: Es handelt sich um elektrostatische Wechselwirkung und deren Abstandsabhängigkeit lautet 1/r, daher wird durch r geteilt und die Stärke der Anziehung skaliert linear mit der Ladung der Teilchen. Der Kern ist Z-fach positiv geladen, das Elektron einfach negativ, also haben wir auf der einen Seite die positive Ladung des Kerns: Z*e und auf der anderen Seite die negative Ladung des Elektrons: -e. Daraus resultiert unmittelbar der Ausdruck für V®.

Und wie unterscheidet sich dieser nun von vor und nach dem Zerfall?

Z ist die Kernladungszahl, also die Anzahl an Protonen im Kern. Das hast du bei oben schon beantwortet. Da hast du bereits geschrieben welchen Wert Z vor und nach dem Zerfall hat. Stimmts? Damit solltest du die beiden Hamiltonoperatoren haben.

Frage 2
Da 3He+ wasserstoff- ähnlich ist, kann ich einfach die Balmer-
Formel hinschreiben? Und wie baue ich da nun E_IP ein?

Hmm, ich weiß nicht, was du bereits kennst. Wenn du die Balmer-Serie kennst, kannst du sie hier auch verwenden… Würde ich zumindest sagen :smile:
Zum Einbau von E_IP: Schreib einfach mal den Energieausdruck für wasserstoffähnliche Systeme in SI-Einheiten hin und verwurste das mit der gegebenen Definition von E_IP.

Wie kommst Du darauf, dass E_IP = 1/2 ist?

Auch hier wieder atomare Einheiten. E_IP war mit 13.6 eV gegeben. Das entspricht in atomaren Einheiten 1/2.

Frage 3:
Ja, Du hast Recht. a_0: Bohr- Radius muss eine Konstante sein.
Allerdings frage ich mich dann, wieso das gefragt wird.

Das frage ich mich auch, vielleicht einfach, um das zu verstehen. Mit Pech ist auch ein Trick dahinter, den ich, wenn dem so sein sollte, aber gerade nicht sehe.

Frage 4:
Also ein Integral berechnen. Einfach die Formel für den
Erwartungswert einer physikalischen Größe benutzen.

Aufgabe: Berechnen Sie den Erwartungswert für die…
Ja, ich würde sagen man benutzt die Formel für den Erwartungswert :wink:

Frage 5:

http://s1.directupload.net/images/110703/pg72d8qy.jpg

Stichwort: Orthogonalität

Könntest Du Deine Gedanken bitte etwas weiter ausführen?

Wie lauten denn Y_l^m bei phi_0? Wann ist Y_l^m orthogonal zu
Y_l’^m’.
Alternative zum reinen Verständnis ohne Rechnung: Welchem
Orbital entspricht l=1 und m=1? Welchem Orbital entsprich l=0
und m=0? Wie sieht es mit deren Orthogonalität aus?

Zum Rest komme ich später … wieder Vorlesung …

Dann lass ich das mal so stehen.

#7

Frage 1
Was bedeutet denn die Zahl links oben am H/He?

links unten: Dass ist die Ordnungszahl (= Anzahl Protonen im
Kern)
links oben : Die Summe aus Protonen und Neutronen im Kern.

Das macht Sinn. Danke!

Ist es richtig, dass das „atomare Elektron“ auch nach dem
Zerfall weiterhin
Bestandteil des 3He± Ions ist, und das Elektron Beta-
Elektron (wir
erinnern uns: das ist das Elektron, was bei dem Zerfall des
Neutrons
entsteht) abhaut?

Ja!

OK!

Unterscheiden sich demnach Tritium und 3He+
nur dadurch,
dass letzteres praktisch ein Neutron weniger, dafür ein Proton
mehr hat?!

Ja!

OK!

Ja, damit ist das Elektron, das anfänglich beim Tritium dabei
ist,
und nach dem Zerfall immer noch Bestandteil des 3He± Ions
ist,
bezeichnet. Da wir den Atomkern als unendlich schwer annehmen,
wird wohl nur auf dieses Elektron, also „atomares Elektron“,
eingegangen. Du sagst, dass der Potentialterm V® = - Z/r
ist,
ich hingegen schrieb, dass es sich um V® = - (Z*e²)/r
handelt.
Was stimmt denn nun und vor allem: warum stimmt es?

Beides ist richtig. Dein Ausdruck ist in SI-Einheiten, meiner
in atomaren Einheiten. In atomaren Einheite ist die
Elementarladung e Eins. Sorry, ich bin atomare Einheiten
gewohnt, damit rechnet es sich einfacher und die Zahlen sind
besser handzuhaben. Einigen wir uns auf die SI-Einheiten, dann
ist
V® = - (Z*e²)/r
Warum es stimmt, nun ja: Es handelt sich um elektrostatische
Wechselwirkung und deren Abstandsabhängigkeit lautet 1/r,
daher wird durch r geteilt und die Stärke der Anziehung
skaliert linear mit der Ladung der Teilchen. Der Kern ist
Z-fach positiv geladen, das Elektron einfach negativ, also
haben wir auf der einen Seite die positive Ladung des Kerns:
Z*e und auf der anderen Seite die negative Ladung des
Elektrons: -e. Daraus resultiert unmittelbar der Ausdruck für
V®.

OK! Unser Prof. rechnet auch lieber mit atomaren Einheiten, von dem
her ist es nicht so schlimm, ich hab’s nur nicht verstanden. Und damit:

Ham_1,2 = (p²/(2*m_e)*(d²/dx²) + (- (Z_1,2*e²)/r)
Ham_1 und Ham_2 unterscheiden sich demnach nur in Ihrem Z:
Z = 1 für Tritium und Z = 2 für 3He+

Und wie unterscheidet sich dieser nun von vor und nach dem Zerfall?

Z ist die Kernladungszahl, also die Anzahl an Protonen im
Kern. Das hast du bei oben schon beantwortet. Da hast du
bereits geschrieben welchen Wert Z vor und nach dem Zerfall
hat. Stimmts? Damit solltest du die beiden Hamiltonoperatoren
haben.

OK, siehe oben.

Frage 2
Da 3He+ wasserstoff- ähnlich ist, kann ich einfach die Balmer-
Formel hinschreiben? Und wie baue ich da nun E_IP ein?

Hmm, ich weiß nicht, was du bereits kennst. Wenn du die
Balmer-Serie kennst, kannst du sie hier auch verwenden…
Würde ich zumindest sagen :smile:

Die Balmer- Serie ist mir bekannt. Ich nehme nun als die Formel
http://de.wikipedia.org/wiki/Wasserstoffatom#L.C3.B6…
Damit kann ich dann in die Formel direkt nach dem ersten
Gleichheitszeichen E_IP einsetzen.

Zum Einbau von E_IP: Schreib einfach mal den Energieausdruck
für wasserstoffähnliche Systeme in SI-Einheiten hin und
verwurste das mit der gegebenen Definition von E_IP.

OK, siehe oben.

Wie kommst Du darauf, dass E_IP = 1/2 ist?

Auch hier wieder atomare Einheiten. E_IP war mit 13.6 eV
gegeben. Das entspricht in atomaren Einheiten 1/2.

OK, siehe oben.

Frage 3:
Ja, Du hast Recht. a_0: Bohr- Radius muss eine Konstante sein.
Allerdings frage ich mich dann, wieso das gefragt wird.

Das frage ich mich auch, vielleicht einfach, um das zu
verstehen. Mit Pech ist auch ein Trick dahinter, den ich, wenn
dem so sein sollte, aber gerade nicht sehe.

Was soll’s. Er hat den Bohr- Radius angegeben. Ich schreibe ihn einfach ab.
Dazu schreibe ich noch, dass es sich einfach um eine Konstante handelt, da
unabhängig von der Kernladungszahl und nur diese sich nach dem Zerfall von
Tritium zu 3He+ ändert.

Frage 4:
Also ein Integral berechnen. Einfach die Formel für den
Erwartungswert einer physikalischen Größe benutzen.

Aufgabe: Berechnen Sie den Erwartungswert für die…
Ja, ich würde sagen man benutzt die Formel für den
Erwartungswert :wink:

Wenn ich ehrlich bin, hab’ da so meine Probleme. Könntest Du mich unterstützen?

Frage 5:

http://s1.directupload.net/images/110703/pg72d8qy.jpg

Stichwort: Orthogonalität

Könntest Du Deine Gedanken bitte etwas weiter ausführen?

Wie lauten denn Y_l^m bei phi_0? Wann ist Y_l^m orthogonal zu
Y_l’^m’.
Alternative zum reinen Verständnis ohne Rechnung: Welchem
Orbital entspricht l=1 und m=1? Welchem Orbital entsprich l=0
und m=0? Wie sieht es mit deren Orthogonalität aus?

Zum Rest komme ich später … wieder Vorlesung …

Dann lass ich das mal so stehen.

Du willst auf die Kugelflächenfunktionen hinaus. Das mit der Orthogonalität
habe ich nicht wirklich verstanden. Überhaupt überrollt mich die sehr mathe-
matische Ausarbeitung der QM in diesem Semester sehr. Morgen müssen wir das
Blatt abgegeben und es sind noch viele Fragen zu beantworten. An die
schwereren wage ich mich schon gar nicht erst. Falls Du Dir mal das gesamte
Blatt anschauen willst: https://rapidshare.com/files/2540929199/Übungsblatt_…

Frage 6:

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, p1 = p(1, 0, 0), dass
das atomare Elektron sich im Grundzustand
von 3He+ befindet. Wie groß ist dieser Beitrag (= p1 E1) zum
Erwartungswert ?

Das sollte dann kein großes Problem mehr darstellen.

Leider doch :frowning:

#8

Frage 1

OK! Unser Prof. rechnet auch lieber mit atomaren Einheiten,
von dem
her ist es nicht so schlimm, ich hab’s nur nicht verstanden.
Und damit:

Ham_1,2 = (p²/(2*m_e)*(d²/dx²) + (- (Z_1,2*e²)/r)
Ham_1 und Ham_2 unterscheiden sich demnach nur in Ihrem Z:
Z = 1 für Tritium und Z = 2 für 3He+

Das mit dem Z stimmt, der kinetische Term ist aber noch falsch (wahrscheinlich ein Flüchtigkeitsfehler).
Ham_1,2 = p²/(2*m_e) + (- (Z_1,2*e²)/r)
oder mit p eingesetzt:
Ham_1,2=(-i hquer²)/(2m_e)*(d²/dx²) + (- (Z_1,2*e²)/r)

Frage 4:
Erwartungswert
Wenn ich ehrlich bin, hab’ da so meine Probleme. Könntest Du
mich unterstützen?

Da ist ja bereits ein guter Trick angegeben inkl. Lösung
Ham2=Ham1-e^2/r
Den Erwartungswert von Ham1 kennst du schon (Das Energiespektrum des H-Atoms) und dass =1/a_0 ist, ist gegeben.

Frage 5:
Du willst auf die Kugelflächenfunktionen hinaus. Das mit der
Orthogonalität
habe ich nicht wirklich verstanden. Überhaupt überrollt mich
die sehr mathe-
matische Ausarbeitung der QM in diesem Semester sehr. Morgen
müssen wir das
Blatt abgegeben und es sind noch viele Fragen zu beantworten.
An die
schwereren wage ich mich schon gar nicht erst. Falls Du Dir
mal das gesamte
Blatt anschauen willst:
https://rapidshare.com/files/2540929199/Übungsblatt_…

Hübsches Übungsblatt, bisschen viel für eine Woche, aber vielleicht bastel ich mir da ein eigenes draus für meine Studis :smile:
Der Witz mit der Orthogonalität ist, dass nur dann ungleich null
ist, wenn l=l’ und m=m’ ist. Das, was ich mit der grafischen Lösung meinte:
l=0, m=0 : s-Orbital
l=1; m=-1/0/+1 : p-Orbital (px, py, pz)
l=2; m=-2,-1,0,+1,+2: d-Orbital (dxy, dxz, dyz, dz², dx²-y²)
u.s.w.
du kannst daran leicht erkennen, dass diese Orbitale alle jeweils orthogonal zueinander sind. Und da es sich bei phi_0 um ein s-Orbital handelt, werden nur die Überlappungsintegrale nicht Null, die ebenfalls s-Funktionen sind.

#9

Vorab wieder einmal vielen herzlichen Dank für Deine Mühe!
Probleme macht mir die 4, an die 5, und 6 hab’ ich mich
noch nicht einmal richtig herangetraut. Das würde auch
keinen Sinn machen, bevor ich die 4 nicht verstanden hab’.

Frage 4:
Erwartungswert
Wenn ich ehrlich bin, hab’ da so meine Probleme. Könntest Du
mich unterstützen?

Da ist ja bereits ein guter Trick angegeben inkl. Lösung
Ham2=Ham1-e^2/r
Den Erwartungswert von Ham1 kennst du schon (Das
Energiespektrum des H-Atoms) und dass =1/a_0 ist, ist
gegeben.

Bisher habe ich nur: http://s1.directupload.net/images/110705/xdwklor7.jpg
Es kann doch wohl nicht so einfach sein, dass folgendes gilt:
= und da Ham2 = Ham1 - (e²/r) sowie
= 1/a_0, ist = -
= E_n (aus 7.2.2) - 1/a_0 ??? Sicher nicht, oder? Du siehst, es geht nicht voran …

Frage 5:
Du willst auf die Kugelflächenfunktionen hinaus. Das mit der
Orthogonalität
habe ich nicht wirklich verstanden. Überhaupt überrollt mich
die sehr mathe-
matische Ausarbeitung der QM in diesem Semester sehr. Morgen
müssen wir das
Blatt abgegeben und es sind noch viele Fragen zu beantworten.
An die
schwereren wage ich mich schon gar nicht erst. Falls Du Dir
mal das gesamte
Blatt anschauen willst:
https://rapidshare.com/files/2540929199/Übungsblatt_…

Hübsches Übungsblatt, bisschen viel für eine Woche, aber
vielleicht bastel ich mir da ein eigenes draus für meine
Studis :smile:
Der Witz mit der Orthogonalität ist, dass nur
dann ungleich null
ist, wenn l=l’ und m=m’ ist. Das, was ich mit der grafischen
Lösung meinte:
l=0, m=0 : s-Orbital
l=1; m=-1/0/+1 : p-Orbital (px, py, pz)
l=2; m=-2,-1,0,+1,+2: d-Orbital (dxy, dxz, dyz, dz², dx²-y²)
u.s.w.
du kannst daran leicht erkennen, dass diese Orbitale alle
jeweils orthogonal zueinander sind. Und da es sich bei phi_0
um ein s-Orbital handelt, werden nur die Überlappungsintegrale
nicht Null, die ebenfalls s-Funktionen sind.

Ich verstehe das, was du geschrieben hast, aber ich verstehe nicht,
wie ich mir das für die Frage 5 zu nutze machen kann. Es gilt:
Wir haben den ursprünglichen, elektronischen Zustand |phi_0>, damit
ist wohl der Zustand des Tritum- Atoms gemeint. Bei einem Zerfalls-
prozess wird dieser Zustand auf den neuen Endzustand (nach dem Zerfall?)
projeziert, und das mit einer Wahrscheinlichkeitsamplitude c(n l m).
Es gilt: c(n, l, m) = . Dass die Wahrscheinlichkeit p(n l m) selbst
sich dann wieder aus dem Betrags- Quadrat der Amplitude c(n l m) ergibt,
also | |². Wir setzen nun also l = 0 und m = 0 und n bleibt
variabel, wobei n Element N, weil zu zeigen ist, dass nur p(n 0 0) von
Null verschieden sind. Und das soll halt nur durch Betrachtung der integralen
Form der c(n l m) möglich sein? Wahrscheinlich willst Du auch mit Deiner
Antwort darauf hinaus, aber ich verstehe nun nicht, wie ich das verbinde. Sry :frowning: