Betragsfunktion

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallöchen

Ich habe zu folgender Aufgabe eine bzw. mehrere Fragen:

Gebrochenrationale Funktionenschar mit Betrag:

fk (x)= k^2 / ((x^2) * Betrag Anfang (x^2)-k Betrag Ende)

k ist Element aller reeller Zahlen größer 0.

gk (x) = k/ ((x^2)-k) - k/(x^2)

(ich weiß leider nicht wie man das besser schreiben kann)

a) Löse die Betragsstriche auf und bestimme den Definitionsbereich Dfk

Meine Lösung dazu lautet:

  1. für x^2 - k größer oder gleich 0:
    fk (x)= k^2/ (x^2 *(x^2 - k))
  2. für x^2 - k kleiner oder gleich 0: fk (x)= k^2/ (x^2 *(-x^2 + k))

in beiden Fällen lautet der Definitionsbereich: alle reellen Zahlen außer 0, - wurzel aus k, wurzel aus k.

ist das denn richtig so?

b) Zeige fk (x) = gk (x) für x kleiner als - wurzel k
v x größer als wurzel k

heißt das jetzt, dass man bei fk (x) einmal die erste Auflösung der Betragsstriche und danach die zweite Auflösung der Betragsstriche verwenden soll oder wie?

wenn man den Graphen von fk (x) Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Definitionslücken und Extrema untersuchen soll, muss man dann immer eine Fallunterscheidung wegen den Betragsstrichen machen??

Vielen Dank im Voraus

#2

fk (x)= k^2 / ((x^2) * Betrag Anfang (x^2)-k Betrag Ende)

f_k(x) = \frac{k^2}{x^2 |x^2 - k|}

k ist Element aller reeller Zahlen größer 0.

gk (x) = k/ ((x^2)-k) - k/(x^2)

g_k(x) = \frac{k}{x^2 - k} - \frac{k}{x^2}

(ich weiß leider nicht wie man das besser schreiben kann)

so :wink: (LaTeX)

  1. für x^2 - k größer oder gleich 0:

Für x^2-k = 0 ist der Nenner = 0 :wink:

fk (x)= k^2/ (x^2 *(x^2 - k))

  1. für x^2 - k kleiner oder gleich 0:
    fk (x)= k^2/ (x^2 *(-x^2 + k))

Genau.

in beiden Fällen lautet der Definitionsbereich: alle reellen
Zahlen außer 0, - wurzel aus k, wurzel aus k.

R \setminus \lbrace 0; \sqrt{k}; -\sqrt{k} \rbrace

ist das denn richtig so?

Ja.

b) Zeige fk (x) = gk (x) für x kleiner als - wurzel k

v x größer als wurzel k

v x?
Soll das ein „oder“ sein?

heißt das jetzt, dass man bei fk (x) einmal die erste
Auflösung der Betragsstriche und danach die zweite Auflösung
der Betragsstriche verwenden soll oder wie?

Ja, das muss sein.

wenn man den Graphen von fk (x) Symmetrie,
Achsenschnittpunkte, Definitionslücken und Extrema untersuchen
soll, muss man dann immer eine Fallunterscheidung wegen den
Betragsstrichen machen??

An sich schon, auch wenn das hierbei recht simpel ist.

mfg,
Ché Netzer

#3

Aha, danke für die schnelle Antwort

b) Zeige fk (x) = gk (x) für x kleiner als - wurzel k

v x größer als wurzel k

v x?

Soll das ein „oder“ sein?

nein, das soll ein „und“ sein

viele Grüße

#4

Wenn das ein „und“ sein soll, dann ist es aber falsch…
Außerdem wäre das Zeichen dann eh falsch rum.
x \sqrt{k}
Das Und-Zeichen ist das hier: \land
Und x \sqrt{k} stimmt nie :wink:

mfg,
Ché Netzer

#5

ohh ja stimmt hast recht, dann hab ich das verwechselt…
aber bei der Aufgabe b) muss man doch jetzt für x > wurzel k

k^2 / (x^4 - kx^2) = gk (x) setzen und nach x auflösen oder?

und für x

#6

ohh ja stimmt hast recht, dann hab ich das verwechselt…

aber bei der Aufgabe b) muss man doch jetzt für x > wurzel k

k^2 / (x^4 - kx^2) = gk (x) setzen und nach x auflösen oder?

Nein, du nimmst fk(x) (x^2 - k > 0) und versuchst, den Term zu dem von gk(x) umzuformen, oder andersrum. Tipp: gk(x) nehmen und die Brüche auf den gleichen Nenner bringen.

und für x Wurzel(k) folgt x^2 > k

mfg,
Ché Netzer