Hallo Nemo,
Ich beschleunige einen Körper mit der Masse M senkrecht zur
Gravitation, auf die Geschwindigkeit V.
Also parallel zum Boden geworfen?
Der Körper wird hochsteigen, dabei langsamer werden und
schließlich wieder herunterfallen, oder?
Warum sollte der Körper hochsteigen? Wenn du den Körper einfach nur waagrecht weg wirfst (senkrecht zur Gravitation) steigt er gar nicht hoch.
Wenn er wieder bei mir eintrifft, wird er wieder die
Geschwindigkeit V haben, oder?
Oder meintest du, dass du den Körper über dir hochwirfst? Dann wird er ohne Reibung etc. wieder mit v bei dir landen.
Wenn ich nun das Gleiche mit der Masse 10M mache, wobei ich
die zehnfache Energie aufbringen muss (?), wird der Körper
doch höher steigen, oder?
Wenn die Abwurfgeschwindigkeit bei beiden Massen gleich ist, dann nicht, das folgt aus der Energieerhaltung. Es ist richtig, dass du in den schwereren Körper mehr Energie „hineinsteckst“ um ihn auf die gleiche Geschwindigkeit zu bringen, auf der anderen Seite wird der massereichere Körper durch die Gravitation auch stärker Richtung Boden gezogen.
Dass sich das tatsächlich aufhebt, kann man auch ausrechnen (etwas unsauber in Formeln):
Im Moment, in dem du ihn loslässt, hat der Körper nur kinetische Energie (wenn ich den Loslasspunkt als Nullpunkt für die potentielle Energie wähle), also E_{kin}=\frac{1}{2}mv^{2}, d.h. dass in die Bewegungeenergie die Masse m einfach und die Geschwindigkeit v quadratisch eingeht. Am höchsten Punkt der Flugbahn hat der Körper nur potentielle Energie, keine kinetische: E_{pot}=mgh, die potentielle Energie hängt einfach von der Masse m und von der Höhe h, sowie von der Fallbeschleunigung g ab.
Nach Energieerhaltungssatz gilt in dem Fall: E_{kin}=E_{pot} \rightarrow \frac{1}{2}mv^{2}= mgh \rightarrow h= \frac{v^{2}}{2g}
Die erreichte Höhe ist für den Fall der vernachlässigten Reibung also nicht von der Masse, sondern nur von der Abwurfgeschwindigkeit abhängig.
Ansonsten wäre da doch ein Energieüberschuss?
Nein, du hast zwar am Anfang für die höhere Masse eine höhere kinetische Energie, am Ende aber für die gleiche Endhöhe eine höhere potentielle Energie.
Nun nochmal das Gleiche in einem Winkel von 45°.
Auch da muss der schwerere Körper höher steigen und wird sich
auf seiner kurvenförmigen (?) Flugbahn weiter von mir
entfernen, als der leichtere Körper?
Nein, auch hier die gleich Argumentation: Bei einem schrägen Wurf kannst du die Bewegung in einen Teil senkrecht und einen Teil parallel der Erdoberfläche aufteilen. Da die Höhe bei vernachlässigter Reibung für beide Körper die selbe ist, dauert es auch gleich lang, bis sie auf dem Boden aufschlagen und legen damit die selbe Strecke parallel zum Boden zurück.
Wobei die Gravitation mit der Entfernung auch noch abnimmt.
Mit der Höhe. Ist für den Fall also egal 
Viele Grüße
Kati