Hallo!
Habe hier schon wieder eine ganz einfache Aufgabe, bei der ich zwar schon noch eine Idee zur Lösung im Kopf habe, aber daran scheitere, sie vernünftig und nicht zu verworren zu notieren…
„Beweise, dass die Subtraktion eines beliebigen Terms auf beiden Seiten einer Gleichung eine Äquivalenzumformung ist.“
Mein Problem ist, wie ich letztendlich auf die Gleichheit der Lösungsmengen zu sprechen komme, über die der Beweis ja letztlich erfolgen sollte.
Gruß,
Anja
Hi!
Ich hätte es (bestimt nicht optimal) mit vollständiger Induktion probiert. Addiere als Term n. Dann setzt du eine 1 für n ein und damit hast du nichts verändert. Jettz das ganze noch für (n + 1). Da fällt einiges heraus, da du deinen bewiesenen Induktionsanfang einsetzen darfst. So oder ähnlich bestimmt.
Christian
Hallo,
na ja z.Z. ist, daß die Lsg.Menge der Gleichung unter beidseitiger Substraktion eines beliebigen Terms unverändert bleibt. Dazu würde man zeigen, daß eine Lsg. der Gleichung auch eine der Gleichung nach Anwendung der beidseitigen Substraktion ist und umgekehrt. Evtl. verfährt man dabei über den induktiven Aufbau der Terme. Um genauer zu werden, müßtest Du mehr zum verwendeten Background erzählen (welche „Zahlen“ werden verwendet - natürliche, rational, reelle, komplexe, wie sind Terme bei euch definiert etc.).
Gruss
Enno
Hallo!
na ja z.Z. ist, daß die Lsg.Menge der Gleichung unter
beidseitiger Substraktion eines beliebigen Terms unverändert
bleibt. Dazu würde man zeigen, daß eine Lsg. der Gleichung
auch eine der Gleichung nach Anwendung der beidseitigen
Substraktion ist und umgekehrt.
Ja, das ist mir vom Prinzip her schon klar. Das kann man auch problemlos für jede x-beliebige konkrete Gleichung nachweisen. Aber wie weise ich das allgemein nach?
Evtl. verfährt man dabei über
den induktiven Aufbau der Terme. Um genauer zu werden, müßtest
Du mehr zum verwendeten Background erzählen (welche „Zahlen“
werden verwendet - natürliche, rational, reelle, komplexe, wie
sind Terme bei euch definiert etc.).
Es sind reelle Zahlen und ich nehme in diesem Fall an, dass die Lösung eine sehr einfache sein müsste (also wahrscheinlich nicht mit vollständiger Induktion u.ä.), da die Aufgabe in einem Komplex wirklich einfacher Aufgaben (z.B. eine einfache Gleichung lösen) vorkommt.
Gruß,
Anja
Hallo,
Ja, das ist mir vom Prinzip her schon klar. Das kann man auch
problemlos für jede x-beliebige konkrete Gleichung nachweisen.
Aber wie weise ich das allgemein nach?
Evtl. so. Sei die Gleichung s=t (s,t sind Terme). Die Lsg. der Gleichung (oder Modelle) sind Variablenbelegung (oder Interpretationen) also Abbildungen I: X -> R von der Menge der Variablen in die reellen Zahlen, mit der Eigenschaft das I’(s)=I’(t) (resp. I |= s=t) wobei I’: T(X) -> R die Fortsetzung von I auf Terme ist (genauer betrachtet man i.allg. nur den Teil der Abbildung(en), der die Variablen aus s und t enthält, man fasst also gewisse Variablenbelegungen zusammen). Z.B. ist I’(x)=I(x) für Variablen, I’(s+t)=I’(s)+I’(t), I’(s-t)=I’(s)-I’(t) etc. Zu zeigen wäre jetzt I |= s=t gdw. I |= s-r=t-r für einen beliebigen Term r. Evtl. reicht es über die Umkehrabbildung + und Def. von - als x-y=x+(-y) zu argumentieren, also
I |= s-r=t-r gdw. I |= s+(-r)=t+(-r) gdw. I |= (s+(-r))+r=(t+(-r))+r gdw.
I |= s+((-r)+r)=t+((-r)+r) gdw. I |= s+0=t+0 gdw. I |= s=t
Die Umformungen folgen aus Gruppeneigenschaften der reellen Zahlen bzgl. +,- (als Vorzeichen) , der Def. von - als zweistellige Operation und 0.
Weniger algebraisch könnte man auch sagen, daß die Abbildung fx(y)=x-y injektiv ist für x,y reell, also das aus fx(y)=fx(z) immer y=z folgt (z.B. indem man die im 45° Winkel abfallenden Graphen betrachtet, die die y Achse bei x schneiden).
Gruss
Enno