Hallo zusammen,
Ich möchte beweisen, dass, wenn bei einer Abbildung der Form
\begin{displaymath}
\vec x\quad’ =
\left( \begin{array}{ccc}
a & c \
b & d \
\end{array} \right)
* \vec x
+
{ e \choose f }
\end{displaymath}
die beiden Spaltenvektoren
\begin{displaymath}
{ a \choose b } und { c \choose d }
\end{displaymath}
linear unabhängig sind, es sich um bei dieser Abbildung um eine affine Abbildung (-> Geradentreue und Umkehrbarkeit) handelt.
Die Geradentreue habe ich schon nachgewiesen, indem ich einfach eine Gerade der Form
\begin{displaymath}
\vec x\ =
{ g \choose h } + k * { i \choose j }
\end{displaymath}
in die Matrixform eigesetzt habe, woraufhin sich eine neue Gerade ergibt.
Allerdings finde ich keinen Ansatz, um die Umkehrbarkeit zu beweisen. Ich schaffe es zwar, nachzuweisen, dass wenn die beiden Spaltenvektoren linear abhängig sind, die Umkehrbarkeit nicht gegeben ist, aber das lässt ja noch lange nicht den Umkehrschluss zu und hilft mir deshalb nicht weiter.
Hat jemand von euch Tipps für mich, wie ich das Problem angehen könnte?
Liebe Grüße
tiene-biene
PS: Tut mir leid, dass der Artikel etwas unübersichtlich aussieht, ich kann nicht so gut mit Latex umgehen…
Hi,
die Inverse einer 2x2-Matrix sieht einfach aus:
\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}^{-1}
=\frac1{ad-bc}
\begin{pmatrix}d&-b\-c&a\end{pmatrix}^{-1}
Der Nenner, die Determinante, ist genau dann nicht Null und damit die Inverse berechenbar, wenn die zwei Vektoren linear unabhängig sind.
Gruß Lutz
korrigierte Formel (pmatrix funktioniert nicht trotz amsmath?)
\left(\begin{array}{cc}a&b\c&d\end{array}\right)^{-1}
=\frac{1}{ad-bc}
\left(\begin{array}{cc}d&-b\-c&a\end{array}\right)
Hallo,
der Begriff Determinante sagt mir leider überhaupt nichts.
Umkehrbarkeit überprüfen wir in der Schule immer darüber, dass zu jedem Bildpunkt genau ein Urbild gehört, und nicht zwei Punkte, die vorher verschieden waren, hinterher auf ein und denselben Bildpunkt fallen.
(Aus P’=Q’ folgt P=Q)
Viele Grüße
tiene-biene
Na, dann setzt Du’s halt ein. (Ich schreib mal A für die Matrix und b für den Vektor, also x’ = A·x + b):
x’ = y’
g.d.w. A·x + b = A·y + b |–b
g.d.w. A·x = A·y |–A·y
g.d.w. A·(x–y) = 0.
Je nachdem, wie Du die lineare Unabhängigkeit definiert hast, kannst Du entweder sofort ablesen, das x–y=0 sein muss, oder Du multiplizierst es halt aus und liest dann ab, dass sowohl die erste als auch die zweite Komponente von x–y jeweils 0 sein müssen.
Liebe Grüße
Immo
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Hi,
Du hast eine Abbildung die eigentlich aus zwei Abbildungen besteht.
- Matrix A mal x Vektor
- Ergebnis Verschiebung um einen Vektor v
Du musst nur Beweisen, dass es zu jeder dieser Abb. eine Umkehrfunktion gibt.
Diese Abb. sind in diesem Fall einfach zu finden.
- A^(-1) da A*A^(-1)=E
- -v da v + -v =E
Bilde also die Inverse zu A und den zu v entgegengesetzten Vektor mit der Länge von v.
Wichtig ist die Reihenfolge der Abbildungen zu beachten !!!
Viel Glück
LG CF
Hallo,
danke für eure Antworten.
Da ich weder den Begriff der Determinante kenne, noch weiß wie man eine Inverse bildet, haben mir manche Ansätze leider nicht weitergeholfen. Aber dank der Antwort von Vokietis ist der Beweis jetzt trotzdem gelungen =)
(Eigentlich war’s ja einfach, keine Ahnung warum ich nicht drauf gekommen bin…)
Liebe Grüße
tiene-biene