Hallo!
Wie kann ich die Formel
arctan(1/2)+arctan(2) = pi/2
beweisen? Der tan(pi/2) ist ja nicht definiert, also über das Additionstheorem gehts nich… Grenzwertbetrachtung?
Vielen Dank schonmal für die Hilfe!
Hallo,
arctan(1/2)+arctan(2) = pi/2
Das gillt allgemein:
arctan(1/x) + arctan(x) = pi/2
und ist eine Funktionalgleichung des Arcustangens.
Vielleicht hilft dir das bei deiner Suche weiter…
Grüße,
Moritz
Auch hallo.
Wie kann ich die Formel
arctan(1/2)+arctan(2) = pi/2
beweisen? Der tan(pi/2) ist ja nicht definiert, also über das
Additionstheorem gehts nich… Grenzwertbetrachtung?
Taylorreihe wäre eine Idee: http://www.siskiyous.edu/class/math5b/html%20lecture…
Taylor von Tangens bilden, den Kehrwert bilden und einsetzen.
HTH
mfg M.L.
Hallo!
Wie kann ich die Formel
arctan(1/2)+arctan(2) = pi/2
beweisen?
Wie immer, wenn etwas im Reellen nicht definiert ist, hilft die Verallgemeinerung im Komplexen weiter. In diesem Fall benutzt man die Formel:
arctan x = 1/(2i) log((1+ix)/(1-ix))
Auf obigen Fall angewendet und unter Benutzung des Additionstheorems
log a + log b = log ab
erhält man:
arctan(1/2) + arctan(2) = … = 1/2i log(-1) = 1/(2i) iπ = π/2
Gruß
Oliver
Taylor von Tangens bilden, den Kehrwert bilden und einsetzen.
Wie bildet man denn von einer Reihe die Umkehrung??
Gruß
Oliver
Hallo.
Wie bildet man denn von einer Reihe die Umkehrung??
Jedenfalls nicht wie (zuerst zu kompliziert) gedacht, wie ein Blick in eine Formelsammlung zeigt:
Taylor von tan(x): x+1/3 x^3 +2/15 x^5 +…
arctan(x): x - x^3/3 + x^5/5 - … f. |x|1: +/- Pi/2 - 1/x + 1/3x^2 -…
mfg M.L.
Hallo!
Wie kann ich die Formel
arctan(1/2)+arctan(2) = pi/2
beweisen?Wie immer, wenn etwas im Reellen nicht definiert ist, hilft
die Verallgemeinerung im Komplexen weiter.
Das kann man in der Regel nicht bei „mehrdeutigen“ Funktionen tun (auch wenn zufällig das Richtige rauskommt).
In diesem Fall
benutzt man die Formel:arctan x = 1/(2i) log((1+ix)/(1-ix))
Auf obigen Fall angewendet und unter Benutzung des
Additionstheoremslog a + log b = log ab
Das Additionstheorem gilt i.A. nicht im Komplexen z.B.:
log(-1) + log(-1) = 2pi*i
log ((-1)*(-1)) = log (1) = 0
Gruß Frank
Ich denke, dass Moritz einen guten Tipp gegeben hat.
Betrachte die Ableitung der Funktionalgleichung arctan(1/x)+arctan(x) = pi/2 (stetig und diffbar vorausgesetzt).
Die Ableitung müsste identisch 0 sein (konstant).
Wähle einen bekannten Wert, den du in die Gleichung einsetzt (zB x=1)
und du bist fertig.
Gruß Frank
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Geometrisch:
betrachte ein Rechteck, dessen eine Diagonale zwei rechtwinklige Dreicke herausschneidet. Die Seitenlängen des Rechtecks seien a und b.
Dann wird ein rechter Winkel (pi/2) durch die Diagonale geteilt in zwei Winkel phi und pi/2 - phi. Dann gilt fuer den Tangens:
tan phi = a/b
tan (pi/2 - phi) = b/a
Also: arctan (a/b) + arctan (b/a) = pi/2
====> arctan x + arctan (1/x) = pi/2.
Viele Gruesse
Oli
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hallo,
Das kann man in der Regel nicht bei „mehrdeutigen“ Funktionen
tun (auch wenn zufällig das Richtige rauskommt).
Das geht schon, man muss nur „aufpassen“ (s.u.)
Das Additionstheorem gilt i.A. nicht im Komplexen z.B.:
Die Regel
log a + log b = log ab
gilt auch im Komplexen, und zwar genau dann wenn man den Zweig des Logaritmus so wählt, dass arg a, arg b und arg a + arg b im selben Zweig liegen.
Im Beweis der arctan Formel war dieser Zweig ]0, 2π[
log(-1) + log(-1) = 2pi*i
log ((-1)*(-1)) = log (1) = 0
In diesem Fall wäre ]π/2, 5/2π[ ein solcher Zweig. Damit gilt nämlich log (1) = 2πi
Gruß
Oliver
Hallo,
Die Regel
log a + log b = log ab
gilt auch im Komplexen, und zwar genau dann wenn man den Zweig
des Logaritmus so wählt, dass arg a, arg b und arg a + arg b
im selben Zweig liegen.
Ok, falls man (zufällig) im selben Zweig während der gesamten Beweisführung bleibt ist die Welt in Ordnung. Ist i.A. aber nicht so.
Wähle halt:
log(1) = log((-1)*(-1)) = log (1*1)
oder
log (1) = log ((-1)^4)
log(-1) + log(-1) = 2pi*i
log ((-1)*(-1)) = log (1) = 0In diesem Fall wäre ]π/2, 5/2π[ ein solcher Zweig.
Damit gilt nämlich log (1) = 2πi
Wollte bzgl. deiner Argumentation zeigen, dass
der Beweis der (reellen Gleichung)
ln(1) = 0
in der oben angegebener Form im Komplexen nicht funktioniert, da man den Hauptzweig verlässt.
Gruss
Frank
Ok, falls man (zufällig) im selben Zweig während der gesamten
Beweisführung bleibt ist die Welt in Ordnung.
Und damit man nicht „zufällig“ im selben Zweig bleibt, muss man eben die Wahl des Zweiges auf den jeweilgien Fall anpassen.
Eine solche Wahl ist im Fall zweier Faktoren, d.h. für Gleichungen der Art
log(a*b) = log(a) + log(b)
immer möglich, da stets |arg(a) - arg(b)|
Eine solche Wahl ist im Fall zweier Faktoren, d.h. für
Gleichungen der Artlog(a*b) = log(a) + log(b)
immer möglich, da stets |arg(a) - arg(b)| log((-1)(-1)) = (Hauptzweig wird verlassen) = 1/i*log(-1) = π (fehlgeschlagen)
Gruß
Frank
Der Bildbereich der
arg-Funktion ist in der Regel der Hauptzweig.
Nein, da die e-Funktion periodisch ist, ist
der Bildbereich des arg alles andere als festgelegt, sondern muss stets angegeben werden.
Dann hat wohl der arctan(x) im Komplexen auch
keine
Gültigkeit?
Auch hier gilt arctan(z) = 1/(2i) ( log((1+iz)/(1-iz)) +
n*2πi )
Was ja auch Sinn macht, da die tan-Funktion ebenfalls periodisch ist.
„Beweis“ der reellen Gleichung im Komplexen:
arctan(0) = 1/(2i) log(1) = 1/(2i) log((-1)(-1)) =
(Hauptzweig wird verlassen) = 1/i*log(-1) = π
(fehlgeschlagen)
Nochmal:
Der Beweis ist nicht fehlgeschlagen, du hast ihn nur auf einen anderen Zweig übertragen, nämlich auf den Zweig ]π/2, 3/2π[
Und dort gilt ja in der Tat:
arctan(0) = π
Also alles in Ordnung.
Gruß
Oliver
Der Bildbereich der
arg-Funktion ist in der Regel der Hauptzweig.Nein, da die e-Funktion periodisch ist, ist
der Bildbereich des arg alles andere als festgelegt, sondern
muss stets angegeben werden.
Da gibts nichts festzulegen. arg ist eindeutig definiert:
arg: C -> [-π,π[ (manchmal auch arg:C->[0,2π[)
Die exakte Definition des Logarithmus lautet auch:
log(z) = ln|z| + i(arg(z)+2kπ)
Dann hat wohl der arctan(x) im Komplexen auch
keine
Gültigkeit?
Auch hier gilt arctan(z) = 1/(2i) ( log((1+iz)/(1-iz)) +
n*2πi )Was ja auch Sinn macht, da die tan-Funktion ebenfalls
periodisch ist.
Du hast also deinen Beweis in einem ungültigen Bereich geführt ?
„Beweis“ der reellen Gleichung im Komplexen:
arctan(0) = 1/(2i) log(1) = 1/(2i) log((-1)(-1)) =
(Hauptzweig wird verlassen) = 1/i*log(-1) = π
(fehlgeschlagen)Nochmal:
Der Beweis ist nicht fehlgeschlagen, du hast ihn nur auf einen
anderen Zweig übertragen, nämlich auf den Zweig ]π/2,
3/2π[Und dort gilt ja in der Tat:
arctan(0) = π
Also alles in Ordnung.
Nochmal: Es ging um die reelle Gleichung arctan(0) = 0.
Und bei dir klappt der Beweis, wenn (über einen komplexen Umweg) arctan(0)=π herauskommt ??
Der gesamte Beweis muß in einem Zweig ablaufen, damit er funktioniert(von mir aus auch ]π/2,5/2π[). Leider klappt das in der obigen Gleichung nicht.
Gruß
Frank
arg ist eindeutig definiert:
arg: C -> [-π,π[ (manchmal auch
arg:C->[0,2π[)
Soso, wenn das mal nicht eindeutig ist:
manchmal so und manchmal so… interessant, was manche so unter Eindeutigkeit verstehen.
Die exakte Definition des Logarithmus lautet auch:
log(z) = ln|z| + i(arg(z)+2kπ)
Falsch. Damit das wirklich wohldefiniert ist, müsste
a) der Bildbereich des arg festgelegt werden
b) k festgelegt werden
Nochmal: Es ging um die reelle Gleichung arctan(0) = 0.
Und bei dir klappt der Beweis, wenn (über einen komplexen
Umweg) arctan(0)=π herauskommt ??
Ok, vielleicht war ich zu schnell, also nochmal langsam:
a) benutzter Zweig: ]-π/2, π/2[
arctan(0) = 1/(2i) log(1) = 1/(2i) * 0 = 0
stimmt
b) benutzter Zweig: ]1/2π, 3/2π[
arctan(0) = 1/(2i) log(1) = 1/(2i) * 2πi = π
stimmt auch
So, aber jetzt ist gut.
Gruß
Oliver
arg ist eindeutig definiert:
arg: C -> [-π,π[ (manchmal auch
arg:C->[0,2π[)
Soso, wenn das mal nicht eindeutig ist:
manchmal so und manchmal so… interessant, was manche so
unter Eindeutigkeit verstehen.
Sorry, aber aus dem Kontext sollte eigentlich klar sein, dass eine eindeutige Funktion gemeint ist (es gibt nämlich auch mehrdeutige Funktionen im Komplexen).
Die exakte Definition des Logarithmus lautet auch:
log(z) = ln|z| + i(arg(z)+2kπ)
Falsch. Damit das wirklich wohldefiniert ist, müsste
a) der Bildbereich des arg festgelegt werden
b) k festgelegt werden
In den folgenden Links sind die Grundlagen über komplexe Zahlen imho gut erklärt. Ich empfehle dir einfach mal reinzuschauen.
http://www.math.uni-hamburg.de/home/oberle/komplex/k…
http://www.math.uni-hamburg.de/home/oberle/komplex/k…
auch
http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahlen
Gruß
Frank
arg ist eindeutig definiert:
arg: C -> [-π,π[ (manchmal auch
arg:C->[0,2π[)
Soso, wenn das mal nicht eindeutig ist:
manchmal so und manchmal so… interessant, was manche so
unter Eindeutigkeit verstehen.Sorry, aber aus dem Kontext sollte eigentlich klar sein, dass
eine eindeutige Funktion gemeint ist (es gibt nämlich auch
mehrdeutige Funktionen im Komplexen).
Mir ist schon klar was du gemeint hast, nur hast du ja oben selbst geschrieben, dass es verschiedene Möglichkeiten gibt, diese Eindeutigkeit zu realisieren. Z.b. durch Einschränkung auf [-π, π[ oder durch Einschränkung auf [0,2π[ oder…
Falls man nun die Gültigkeit der Regel
log(a*b) = log(a) + log(b)
erhalten möchte, muss man eben den Bereich von arg so wählen, dass arg(a),arg(b) und arg(a)+arg(b) im selben Bereich liegen. Und dann und funktionieren auch darauf aufbauende Beweise.
Falls man das jedoch nicht tut, muss man sich auch nicht wundern, dass diverese Beweise „fehlschlagen“, wie du eindrucksvoll demonstriert hast.
Für andere Umkehrfunktionen von periodischen Funktionen wie z.B. arctan(z) oder log(z), also immer dann wenn man den Uhrbildbereich einschränken muss, gilt natürlich das selbe.
In den folgenden Links sind die Grundlagen über komplexe
Zahlen imho gut erklärt. Ich empfehle dir einfach mal
reinzuschauen.
Dito.
Aber ich glaube, wir haben auch alles geklärt
Gruß & Ende
Oliver