Beweis dafür das Diagonalen eines Parallelogramms einander halbieren?

Wissenschaft Mathematik
#1

Hi,

Ich will mit Vektoren beweisen, dass die Diagonalen eines Parallelogramms einander halbieren. Mit der üblichen Benennung kann man als Voraussetzung schreiben, dass die Vektoren AB und DC sowie die Vektoren AD und BC gleich sind. Die Behauptung wäre dann AM=MC und DM=MB, wenn M den Diagonalenschnittpunkt bezeichnet. Man kann nun diverse Vektorgleichungen aufstellen, wie z.B. AM+MC=AB+BC oder AM+MB=AB usw. Aber wenn ich solche Gleichungen addiere oder subtrahiere, kommen immer wahre Aussagen raus, ohne dass ich eine Möglichkeit sehe, dass sich mal AM=MC ergibt. Mir fehlt die zündende Idee, was ich tun muss, also welche Beziehungen ich wie kombinieren muss. Oder ist es damit eventuell nicht getan, muss ich noch was anderes machen? Bin für Gedankenanstöße dankbar.

Gruß
Marco

#2

Hallo,

das Parallelogramm habe die Eckpunkte A, B, C, D. Mein Koordinatensystem wähle ich der Einfachheit halber so, dass dessen Ursprung mit dem Punkt A zusammenfällt (das schränkt die Allgemeinheit des Beweises nicht ein). Dann gilt, weils ein Parallelogramm ist, c = b + d.

Der Schnittpunkt S von AC und BD liegt einerseits auf AC; also muss s = α c erfüllt sein, mit einem noch unbekannten Faktor α. Der Wert von α gibt an, „wo“ S zwischen A und C liegt: Für α = 0 fällt S mit A zusammen, für α = 1 fällt S mit C zusammen, und für α = 1/2 liegt S genau in der Mitte zwischen A und C.

Andererseits liegt S auch auf BD; also muss s = b + β ( d – b ) erfüllt sein, mit einem ebenfalls noch unbekannten Faktor β.

Gleichsetzen der rechten Seiten der beiden s -Terme liefert

α c = b + β ( d – b )

⇔ α ( b + d ) = b + β ( d – b )

⇔ (α + β – 1) b + (α – β) d = 0

b , d linear unabhängig ⇒ α + β – 1 = 0 und  α – β = 0

⇒ α = β = 1/2

⇒ S halbiert sowohl AC als auch BD.

Ich hoffe, das war keine Hausaufgabe.

Gruß
Martin

#3

hi,

Ich will mit Vektoren beweisen, dass die Diagonalen eines
Parallelogramms einander halbieren.

nenn AB = a und AD = b. sie müssen linear unabhängig sein, damit ABCD ein parallelogramm ist.

dann ist AM = s. (a+b) = a + t.(b-a)
mit unbekannten zahlen s und t

dann ist
sa - a + ta = tb - sb
(s - 1 + t).a = (t - s).b

wegen der linearen unabhängigkeit ist
s - 1 + t = 0
t - s = 0

usw.
m.

#4

Danke euch beiden. Ihr habt ja im Prinzip dasselbe geschrieben. Knackpunkt war also, dass ich nicht an die lin. Unabhängigkeit gedacht habe.

Gruß Marco