Beweis das folgendes Additionstheorem gilt?

Wissenschaft Physik
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Hallo, wie kann man denn beweisen, dass unabhängig von x das folgende Additionstheorem gilt:

(cosh(x))^2 - (sinh(x))^2 = 1

mit cosh(x) := (e^x + e^(-x))/2
und mit sinh(x) := (e^x - e^(-x))/2

Wie ist hier vorzugehen?

lg Daniel

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Hallo

(cosh(x))^2 - (sinh(x))^2 = 1

mit cosh(x) := (e^x + e^(-x))/2
und mit sinh(x) := (e^x - e^(-x))/2

Einfach einsetzen.
(cosh(x))^2 = (e^2x+2+e^(-2x))/4 (1)
(sinh(x))^2 = (e^2x-2+e^(-2x))/4 (2)
Aus (1)-(2) folgt deine Formel.
Liebe Grüße.
Alex

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Hinschreiben, binomische Formel ausmultiplizieren und beachten, dass bei Multiplikation von Potenzen die Exponenten addiert werden. Dann steht irgendwann 4=4 da…

Gruß
jartUl

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hi,

(cosh(x))^2 - (sinh(x))^2 = 1

mit cosh(x) := (e^x + e^(-x))/2
und mit sinh(x) := (e^x - e^(-x))/2

Wie ist hier vorzugehen?

ausrechnen:
((e^x + e^(-x))/2)^2 - ((e^x - e^(-x))/2)^2 =
= ((e^x)^2 + 2*e^x*e^(-x) + (e^(-x)^2))/4 -

  • ((e^x)^2 - 2*e^x*e^(-x) + (e^(-x)^2))/4 =
    = 4*(e^x)*(e^(-x) / 4 = 1
    denn e^x * e^(-x) = e^0 = 1

hth
m.