Es seien K,L,M Mengen und f: K->L sowie g: L->M Abbildungen. Beweise Sie:
1.) Wenn g ° f surjektiv ist, ist g surjektiv.
2.) Wenn f und g injektiv sind, dann ist
g ° f injektiv.
Vielen Dank für jede Hilfe
Julia
Ok, ich weiss was als cand. math. oec. :
ad 1) gof surjektiv
d. h. für alle y e M gibt es x e K: (gof)(x)=y, d. h. g(f(x))=y
da f(x) e L, gilt: für alle y e M gibt es f(x) e L: g(f(x))=y, d. h. g surjektiv
ad 2)f, g injektiv
d.h. für alle x, y e K:
Aus g(f(x))=g(f(y))folgt f(x)=f(y) wegen g injektiv und aus f(x)=f(y) folgt x=y wegen f injektiv
Lass mich raten, Übungszettel Analysis I?
Gruss Martin
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Lass mich raten, Ü"Ubungszettel Analysis I?
Gruss Martin
Erste Serie:wink:
Lutz
(bei mir 5. Aufgabe: h o g und g o f bijektiv folgt f,g,h alle bijektiv)
Also Julia, hoffentlich kann ich dir helfen:
ad1)g°f sei surjektiv; das bedeutet:
g(f(x)) = (K->L)->M ist surjektiv
(Achtung: das ist nicht gleich M->(K->M)!und kommt daher: g°f bedeutet: g(f(x))also ERST f(x)ausrechnen und DANN mit dem ermittelten Wert in die g-Relation einsetzen, also für die Mengen: ERST f: K->L und DANN damit in g: (K->L)->M)
Da also bei der Verknüpfung g°f als Zielmenge(weils surjektiv ist das auch die Bildmenge) die Menge M herauskommt und bei der Verknüpfung g: (L->M) ebenfalls muß g ebenso surjektiv sein wie g°f
KLAR?
ad2)(K->L)und(L->M) sind injektiv, bei f wird also in L und bei g in M jeweils ein Element immer nur von einem Relationspfeil aus der Urbildmenge getroffen(…);
g°f ist wieder (K->L)->M
Also erst die Relation f; die ist für sich injaktiv, also wird ein Element in L immer nur von EINEM Element aus K angesteuert. D Diesen Elemten aus L weise ich nun nach der Relation g (die auch injektiv ist) die zugehrigen Elemente aus M zu, wobei auch hier in M ein Element nur EINMAL von einem Element aus L getroffen wird. Es ist damit völlig egal ob f injektiv ist oder nicht, denn wenn g injektiv ist, so ist es g°f allemal!
Hoffentlich war das nicht zu langatmig(und hoffentlich ist alles richtig…)
Schöne Grüße, Joachim