Hallo,
wie beweist man denn, dass die Funktion e^(ix) den ganzen Einheitskreis abbildet?
Es gilt e^(ix)=cos(x)+i sin(x) und damit kann man auch beweisen, dass der Betrag von e^(ix) immer 1 ist.
Aber wodurch wird klar, dass auch wirklich jede komplexe Zahl, die auf dem Einheitskreis leigt, auch angenommen wird?
Es ist immerhin eine Verkettung von zwei stetigen Funktionen, die zwischen -1 und 1 jeden Wert annehmen.
Reicht es schon zu sagen, dass deshalb jede kleine Änderung an x auch eine kleine Änderung von e^(ix) macht?
Wie würde man sinnvoll beweisen, dass e^(ix) jeden Wert auf dem Einheitskreis annimmt?
es reicht zu zeigen, dass ein kleines Intervall um x=0, d.h. die Eins auf dem Einheitskreis, vollständig überdeckt wird. Das kann man mit den analytischen Eigenschaften des Sinus machen. Dieses Intervall kann dann rotiert werden, so dass der gesamte Kreis überdeckt wird. Je nach Aufwand ist eine Stückelung des Kreises in 3Grad- oder 15Grad-Bögen durch geometrisch-algebraische Überlegungen möglich, so dass das kleine Intervall entweder (-2,2)Grad oder (-8,8)Grad überdecken muss.
Sei a+bi eine beliebige Zahl auf dem Einheitskreis.
Fall 1: a ist nichtnegativ.
(Jetzt machst Du eine Skizze mit a+bi im rechten Halbkreis und zeichnest das rechtwinklige Dreieck (0,a,a+bi) ein. Der Winkel am Ursprung ist x.)
Mit x:=arcsin(b) gilt dann a+bi=cos(x)+isin(x)=e^(ix). (Nachrechnen, trigonometrische Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck nutzen!)
Was ist mit dieser Idee?
Hallo,
ich habe nochmal folgendes überdacht.
Wie wäre es, wenn man mit Taylor arbeitet?
Also man definiert eine Potenzfunktion, die sich beim Ableiten nicht ändert, und nennt diese Basis e. Desweiteren definiert man Sinus und Cosinus ganz anschaulich am Einheitskreis und leitet ihre Ableitungen mit geometrischen Überlegungen her, wie zu genüge im Internet zu finden.
Mit Taylor kann man nun e-Funktion, Sinus und Cosinus als unendliche Reihe darstellen.
Aus der Analysis weiß man, dass man auch komplexe Zahlen in die durch Taylor gefundenen Potenzreihen einsetzen darf und diese ebenfalls wieder in C konvergieren, also definiert sind.
Setzt man also jetzt mal „zufälliger Weise“ ix in die e-Funktion ein, dann wird man feststellen, dass die Summanden ohne i, genau so aussehen, wie die Reihe, die man mit Taylor aus dem geometrischen Cosinus hergestellt hat. Analog für die Summanden mit i. Die sehen aus wie die Reihe vom Sinus.
Nun ist gerechtfertig: e^(ix)=cos(x) + isin(x), wobei es sich jetzt hier tatsächlich um die geometrischen cos und sin handelt. Da man weiß, dass diese ja vollkommen den Einheitskreis beschreiben, hat man den Zusammenhang, dass e^(ix) den ganzen Einheitskreis darstellt.
Also hat man hier doch mit Taylor die Brücke zwischen geometrischer Definition des Sinus/Cosinus in der Ebene der komplexen Zahlen und analytischen Definition hergestellt?
Oder gibts bei dieser Argumentation irgendwelche Schwierigkeiten oder strittige Punkte?