Hallo ich habe hier folgende Aufgabe:
Sei A\in M_{mn}(\mathbb K) eine Matrix, sodass XA = 0\in M_{mn}(\mathbb K) für alle Matrizen X\in M_{mm}(\mathbb K) gilt. Beweisen Sie, dass A die Nullmatrix in M_{mn}(\mathbb K) ist.
Meine Lösung:
Die Vorraussetzung: X A = 0
Sei A \ne 0
Sei X = I_m Die Einheitsmatrix
So gilt XA = A \Rightarrow XA\ne 0
Somit muss A die Nullmatrix sein, denn ansonsten wäre die Vorraussetzung nicht erfüllt.
Reicht das als Beweis?
Hallo Tux86!
Sorry, in diesem Bereich bin ich gar nicht fit.
mfg
Ures
danke trotzdem
Hallo Tux,
der Widerspruchsbeweis reicht aus; die Einheitsmatrix I_m ist das ‚neutrale Element‘ der M.-multiplikation, das bei Multiplikation alle Matrizen auf sich selbst abbildet.
Gruss
Bernhard
Danke Vielmals
Hallo,
ja, das reicht. Stilistisch etwas sauberer scheint mir der Verzicht auf die Annahme
Sei A \ne 0
Also einfach mit X = I_m rechnen:
XA = A = 0. Fertig.
Gruß,
Michael
Vielen Dank
Hallo Tux86,
von der Sache her ist das ja klar und logisch… Du hast natürlich Recht mit deienr Nullmatrix. Meiner Meinung nach reicht das auch als Beweis, zumindestso in der Liga Oberstufenmathematik… 
LG
ceriny
Die Formulierung ist für mich als älteren Mathematiker ungewöhnlich.
Bewiesen wird eine Aussage über Matritzen, nicht eine Matrix.
Es ist so wie bei den reellen Zahlen. Ein Produkt ist 0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist.
tut mir leid, da kann ich Dir nicht weiterhelfen. grüsse
Hallo,
> Reicht das als Beweis?
Natürlich nicht!
Überlege doch mal: Die Behauptung soll für alle Matrizen X\in M_{mm}(\mathbb K) gelten. Da kannst Du nicht X durch eine spezielle Matrix ersetzen. Du hast ja damit lediglich gezeigt, daß I_m\cdot A=0 gilt.
Erster Teil des Beweises:
Du mußt auch beweisen, daß A\in M_{mn}(\mathbb K). Dazu schreibst Du die Definition der Matrizenmultiplikation auf.
Zeiter Teil des Beweises:
Für die Matrizenmultiplikation C_{l,n}=A_{l,m}\cdot B_{m,n} gilt (siehe Wikipedia: Matrix (Mathematik) - Matrizenmultiplikation):
c_{i,j}=\sum_{k=1}^{n}a_{i,k}\cdot b_{k,j}\ (i=1…l,\ j=1…n). Für Deine Aufgabe heißt das: c_{i,j}=\sum_{k=1}^{n}x_{i,k}\cdot a_{k,j}\ (i=1…m,\ j=1…n). Im allgemeinen Fall kann man nicht davon ausgehen, daß irgendein x_{i,k} Null ist. Für beliebige x_{i,k} können alle c_{i,j} also nur Null werden, wenn alle a_{k,j} Null sind.