Hallo
Ich soll die Ungleichung x/(1+x)
Hi Julia !
Schau dir mal für positives x den folgenden Ausdruck an.
\frac{\ln(1+x)}{x}=\frac{\ln(1+x)-\ln(1)}{(1+x)-1}
Das ist also ein Differenzenquotient, und zwar von der Funktion ln(x) an der Stelle 1.
Darauf den Mittelwertsatz angewendet erhälst du
\frac{\ln(1+x)}{x}=\frac{1}{\xi}
für ein &xi &isin [1,1+x].
Durch
1\leq\xi\leq 1+x
erhälst du
\frac{1}{1+x}\leq\frac{1}{\xi}\leq 1
Jetzt kannst du wieder einsetzen
\frac{1}{\xi}=\frac{\ln(1+x)}{x}
und dann das ganze mit x multiplizieren.
Grüße
hendrik
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]