Hi,
kann mir bitte jemand helfen, komme nicht weiter ;0) und zwar:
Sei (an) eine Folge in R, a Element von R.
Beweisen Sie:
(an) konvergiert gegen a
(an) ist beschränkt und hat a als einzigen Häufungspunkt
Danke für jede Hilfe
Rici
Hallo Rici
Sei (an) eine Folge in R, a Element von R.
Beweisen Sie:
(an) konvergiert gegen a
(an) ist beschränkt und hat a als einzigen Häufungspunkt
Leider weiss ich nicht ganz genau, von welchem Wissenstand ich ausgehen darf. Aber hier einige Ideen.
- Aussage => 2. Aussage
Es gilt allgemein, dass konvergente Folgen beschränkt sind (bis auf endlich viele Folgeglieder sind ja zum Beispiel alle im Ball mit Radius 1 enthalten) und haben per Definition den Grenzwert als einzigen Häufungspunkt. - Aussage => 1. Aussage
Benutze das jede in R beschränkte Folge einen Häufungspunkt hat. Die Annahme, dass a nicht auch Grenzwert ist, garantiert die Existenz einer positiven Zahl r und einer Teilfolge, die ganz ausserhalb des Balles mit Radius r und Mittelpunkt a ist (das ist die „Negation“ der Definition von Konvergenz). Diese Teilfolge ist aber auch beschränkt und besitzt demanach auch einen Häufungspunkt, der aber nach Konstruktion von a verschieden ist, was der Voraussetzung widerspricht.
Also muss die Folge konvergieren.
Gruss Urs
Danke für jede Hilfe
Rici
Hallo Rici
Sei (an) eine Folge in R, a Element von R.
Beweisen Sie:
(an) konvergiert gegen a
(an) ist beschränkt und hat a als einzigen HäufungspunktLeider weiss ich nicht ganz genau, von welchem Wissenstand ich
ausgehen darf. Aber hier einige Ideen.
- Aussage => 2. Aussage
Es gilt allgemein, dass konvergente Folgen beschränkt sind
(bis auf endlich viele Folgeglieder sind ja zum Beispiel alle
im Ball mit Radius 1 enthalten) und haben per Definition den
Grenzwert als einzigen Häufungspunkt.- Aussage => 1. Aussage
Benutze das jede in R beschränkte Folge einen Häufungspunkt
hat. Die Annahme, dass a nicht auch Grenzwert ist, garantiert
die Existenz einer positiven Zahl r und einer Teilfolge, die
ganz ausserhalb des Balles mit Radius r und Mittelpunkt a ist
(das ist die „Negation“ der Definition von Konvergenz). Diese
Teilfolge ist aber auch beschränkt und besitzt demanach auch
einen Häufungspunkt, der aber nach Konstruktion von a
verschieden ist, was der Voraussetzung widerspricht.
Also muss die Folge konvergieren.Gruss Urs
HI, hatte mir folgendes überlegt:
a ist Grenzwert von an, d.h. in der ε-Umgebung von a liegen fast alle Terme von an. Folglich befinden sich auch obere und untere Schranke in dieser ε-Umgebung, da an konvergent. Daraus folgt, dass a der einzige Häufungswert ist, d.h. in dessen ε-Umgebung unendlich viele Terme der an liegen.
Ist a der einzige Hw einer Folge an und an gleichzeitig beschränkt, d.h. es existiert eine obere und eine untere Schranke, dann heißt das, dass das sich endlich viele Terme der Folge zwischen beiden Schranken befinden, die sich um a häufen. Somit ist dann a auch Grenzwert, da sich fast alle Terme der Folge in der ε-Umgebung von a befinden.
Ist das auch richtig?
Vielen Dank
Rici
Hallo
HI, hatte mir folgendes überlegt:
a ist Grenzwert von an, d.h. in der ε-Umgebung von a
liegen fast alle Terme von an. Folglich befinden sich auch
obere und untere Schranke in dieser ε-Umgebung, da an
konvergent. Daraus folgt, dass a der einzige Häufungswert ist,
d.h. in dessen ε-Umgebung unendlich viele Terme der an
liegen.
Wenn ich Dich richtig verstehe stimmt es nicht ganz, aber die Grundidee ist nicht völlig falsch. Es liegen „nur“ fast alle Folgenglieder in der ε-Umgebung. Deshalb ist die Schranke nicht da drin, denn die Folgenglieder ausserhalb können eine „Korrektur“ erfordern. Aber da es nur noch endlich viele sind, macht das kein Problem, denn ich nehme einfach das Maximum von a+ε und den endlich vielen Elementen, die nicht in der Umgebung sind und das ist eine obere Schranke der Folge. Analog funktioniert es mit der unteren Schranke.
Mit Deinem Argument zeigst Du, dass a ein Häufungswert ist, aber nicht dass es der einzige ist. Eine weitere reelle Zahl ba kann nicht Häufungswert sein, denn: ist ε:=|a-b|/2, dann ist die Folge ab einem Index in der ε-Umgebung von a und nicht mehr in der ε-Umgebung von b. Somit kann b kein Häufungspunkt von b sein.
Ist a der einzige Hw einer Folge an und an gleichzeitig
beschränkt, d.h. es existiert eine obere und eine untere
Schranke, dann heißt das, dass das sich endlich viele Terme
der Folge zwischen beiden Schranken befinden, die sich um a
häufen. Somit ist dann a auch Grenzwert, da sich fast alle
Terme der Folge in der ε-Umgebung von a befinden.
Diesen Teil verstehe ich nicht ganz. Meinst Du überall endlich, wenn Du endlich sagst? Zum Beispiel sind doch alle Glieder zwischen oberer unterer Schranke befinden (oder verstehen wir darunter nicht das gleiche?). Überlege Dir diesen Teil nochmals. Ich kann mir vorstellen, dass Du hier schon die richtige Intuition/Vermutung/Idee hast, es aber nicht geschafft hast, es zu einem Beweis zusammenzubauen.
Gruss Urs
So habe mir den zweiten Teil nochmal überlegt, ist das jetzt richtig oder habe ich mir schon wieder einen Fehler erlaubt ;0)
a ist der einzige Hw einer Folge an und an ist beschränkt, d.h. es existiert eine obere (a+ ε ) und untere (a- ε) Schranke, diese liegen nicht in der ε-Umgebung. Wenn nun a der einzige Häufungswert ist , dann befinden sich endlich viele Terme der Folge in der ε -Umgebung von a und zwischen beiden Schranken (nicht eingeschlossen).
Somit ist dann a Grenzwert der Folge an, da sich fast alle
Terme der Folge um a häufen
Vielen Dank für deine Mühe
Rici
Hatte was vergessen zu fragen:
Ist es nicht sowie so so, dass wenn eine Folge beschränkt ist und einen Häufungswert hat, konvergent ist?
Danke Rici
Hallo
Leider macht es immer noch keine Sinn. Beginnen wir doch mit der Definition der Konvergenz einer Folge:
Eine Folge an konvergiert genau dann gegen a, wenn für jedes ε>0, ab einem Index n alle Folgenglieder an in der ε-Umgebung von a liegen.
Und ich sehe in Deinem Beweis nicht, dass Du ein beliebiges ε>0 betrachtest, sondern nur eines. Hier ein Versuch, den Beweis, den ich meine etwas genauer aufzuschreiben.
Wir nehmen an, an konvergiere nicht gegen a. Dann existiert ein ε>0, so dass eine Teilfolge von an ausserhalb der ε-Umgebung liegt. Das ist einfach die Negation der definierenden Aussage der Konvergenz. Diese Teilfolge, ist wiederum beschränkt und hat (wie in einem früheren Posting erwähnt) ebenfalls einen Häufungswert, der aber ausserhalb der ε-Umgebung um a liegt und somit von a verschieden ist. Dies widerspricht aber der Voraussetzung, dass an nur einen Häufungspunkt hat.
Bemerkung: Es ist in der Mathematik wichtig, immer die genauen Definitionen von Begriffen in den Beweisen zu verwenden, selbst wenn für die Entwicklung von Beweisideen es manchmal nützlich sein kann, eine anschauliche, aber nicht ganz präzise Version der Begriffe im Kopf zu haben.
Gruss Urs
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Und ich habe vergessen, die Antwort darauf im anderen Posting unterzubringen.
Hatte was vergessen zu fragen:
Ist es nicht sowie so so, dass wenn eine Folge beschränkt ist
und einen Häufungswert hat, konvergent ist?
Die Antwort ist nein, wenn ich die Frage so verstehe, dass die Folge mindestens einen Häufungspunkt hat (so würde es wohl fast jeder Mathematiker verstehen). Nimm zum Beispiel die Folge (-1)n. Die ist beschränkt und besitzt zwei (also mindestens einen) Häufungswert, nämlich 1 und -1 und ist somit nicht konvergent.
Gruss Urs
So, habe eingesehen, dass das vorhergehende nicht ganz logisch war.
Habe es noch mal überarbeitet und hoffe der Erfolg ist größer, als letztes mal ;0)
Das ist jetzt für die Richtung:
(an) ist beschränkt und hat a als einzigen Hw =>
(an) konvergiert gegen a
Ist a der einzige Hw einer Folge an und an gleichzeitig beschränkt,
heißt das, es existiert eine obere (a+ є ) und eine untere (a- є) Schranke. Zwischen diesen Schranken befindet sich a. Da a der einzige Hw ist, befinden sich fast alle (alle bis auf endlich viele) Terme der Folge an in der є-Umgebung von a. Somit ist a Grenzwert (, da sich fast alle Terme um a häufen ).
Vielen Dank für die Bemühungen.
Rici
Hallo Rici
So, habe eingesehen, dass das vorhergehende nicht ganz logisch
war.
Habe es noch mal überarbeitet und hoffe der Erfolg ist größer,
als letztes mal ;0)
Das ist jetzt für die Richtung:
(an) ist beschränkt und hat a als einzigen Hw =>
(an) konvergiert gegen a
Ist a der einzige Hw einer Folge an und an gleichzeitig
beschränkt,
heißt das, es existiert eine obere (a+ є ) und eine
untere (a- є) Schranke. Zwischen diesen Schranken
befindet sich a. Da a der einzige Hw ist, befinden sich fast
alle (alle bis auf endlich viele) Terme der Folge an in der
є-Umgebung von a. Somit ist a Grenzwert (, da sich fast
alle Terme um a häufen ).
Das ist noch immer nicht richtig. Du behauptest, dass eine Folge mit nur einem Häufungspunkt beschränkt ist, was definitiv nicht stimmt. Nimm doch a(2n)=1, a(2n+1)=n. 1 ist der einzige Häufungswert und die Folge ist unbeschränkt. Auf die Beschränktheit kann im Allgemeinen nicht verzichtet werden.
Schau der den Beweis an, den ich bereits gepostet habe.
Gruss Urs
(an) ist beschränkt und hat a als einzigen Hw =>
(an) konvergiert gegen a
Ein Vorschlag:
Sei I das Intervall in demm alle Folgenglieder liegen.
Annahme (an) kovergiert NICHT gegen a. Dann liegen unendlich viele Folgenglieder außerhalb einer beliebig kleinen e-Umgebung um a. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß müsste es dann im Intervall I[a-e,a+e] weitere Häufungspunkte geben, im Widerspruch zur Voraussetzung.
Gruß
Oliver
Aber muss ich nicht bei der Richtung voraussetzen , dass die Folge an beschränkt ist und einen einzigen Häufungswert hat?
Rici
Aber muss ich nicht bei der Richtung voraussetzen , dass die
Folge an beschränkt ist und einen einzigen Häufungswert hat?
Richtig, aber Du verwendest in Deinem Beweis gar nicht, dass die Folge beschränkt ist. Die Argumente in Deinem Beweis sind einfach falsch. Du schliesst in Deinem Beweis aus der Tatsache, dass die Folge nur einen Häufungswert hat, dass die Folge beschränkt ist, was nicht der Fall ist.
Betrachte bitte einfach den bereits geposteten Beweis von mir oder auch denjenigen, den Oliver heute präsentierte, der im Wesentlichen der gleiche wie meiner ist.
Gruss Urs
Danke
Also, jetzt habe ich es geschnallt, jippy
Vielen Dank für die Hilfe!
Rici