Ich habe eine Tabelle angelegt mit 7 Spalten. In der 0. Zeile
steht
a b c d e f g=0
=0 soll ‚0.Zeile‘ heißen?
Nein, dass soll bedeuten dass der 7. nichts bekommen hat. Das wissen wir ja daher, dass er genauso viel hat wie am Ende und damit (weil er als letztes seinen Inhalt komplett verteilt hatte) nichts mehr besitzt.
In der ersten Zeile steht
0 b+g_1 c+g_1 d+g_1 e+g_1 f+g_1 g_1
Denn jeder bekommt die Ration dazu, die auch g_1 insgesamt
hat.
Das stimmt nur dann, wenn immer gleichmäßig verteilt wird.
Zitat aus der Aufgabenstellung:
„verteilt er sein Inhalt gleichmäßig auf die anderen 6 Becher.“
Also muss man nur die g’s ausrechnen.
Prima. Und wie groß ist g_1? Natürlich 1/6 von a.
Leider weiß man nicht, wie groß a ist.
Das weiß man bei linearen Gleichungssystemen zu Begin nie.
Deswegen muss man die ja ausrechnen.
Übrigens gilt:
f_1 = f_0 + g_1
f_2 = f_0 + g_2
f_3 = f_0 + g_3
f_4 = f_0 + g_4
f_5 = f_0 + g_5
f_6 = 0
f_7 = g_6 / 6
So steht in der 5. Zeile bei:
e_5 = 0, f_5 = f_0 + g_5
Keineswegs.
Was ist denn mit g_1, g_2, g_3, g_4, die f bekommen hat?
Doch. Denn der 5. hat in diesem Moment keinen Inhalt mehr
und f_5 ist die Summe von dem was zu diesem Zeitpunkt g_5 hat plus dem Startkapital von f_5.
Das heißt g_5 = g_4 + e_4 / 6
In der 6. Zeile:
e_6 = 1/6 (f_0 + g_5), f_6 = 0
Wie kommst Du auf das sechstel? Es wird doch schon bei der
zweiten Verteilung nur an fünf verteilt.
Zitat aus der Aufgabenstellung:
Der erste Gast […] verteilt er sein Inhalt gleichmäßig auf die anderen 6 Becher.
Da der zweite am nächsten Tag aber arbeiten muss, verteilt er nun seinen Inhalt auf die anderen 6 Becher …
das geht durch bis zum 7. Gast.
Wie kommst du also darauf, dass der zweite nur auf 5 Gäste verteilt, wo doch in der Aufgabe auf 6 Gäste steht?
In der 7. Zeile steht
e_7 = e_0 = 1/6 (f_0 + g_5 + g_6),
f_7 = f_0 = 1/6 (g_6)
Das verstehe ich nun gar nicht mehr.
Das ist auch einfach.
Der sechste Gast f bekommt 1/6 von dem, was der letzte Gast verteilt - dessen Inhalt g_6 zuletzt war. Und aus der Aufgabenstellung heraus wissen wir, dass nach dem letzten Umlauf = 7. Zeile jeder das hat, was er zu Begin hatte. Also f_7 = f_0.
Für den fünften Gast ist es ähnlich:
e_7 = e_6 + 1/6 g_6 = 1/6 (f_0 + g_5 + g_6) = e_0
So einen Schlüssel erhält man für jeden Gast.
Die g’s haben verschiedene Werte. z.B.
g_3 = 1/6 c + (1/6 + 1/36) b + (1/6 + 1/6² + 1/6³) a
Nö.
Die g_i’s stehen in einer ziemlich komplizierten Form da. So gilt
g_0 = 0
g_1 = 1/6 a
g_2 = g_1 + 1/6 b_1 = g_1 + 1/6 b_0 + 1/6² a_0 = (1/6 + 1/6²)a_0 + 1/6 b_0 = 1/6 ( (1 + 1/6) a_0 + b_0) = 1/6 (7/6 a_0 + b_0)
g_3 = g_2 + 1/6 c_2 = g_2 + 1/6 (c + g_2) = 1/6 c + (1/6 + 1/6²) b + (1/6 + 1/6² + 1/6³) a = 1/6 (c + (1 + 1/6) b + (1 + 1/6 + 1/6²) a) = 1/6 (c + 7/6 b + (7/6)2 a)
…
Setzt man nun die g_i’s ein in die a_7, b_7, c_7, d_7, e_6, f_7 dann erhält man ein hübsches System von Gleichungen.
z.B.:
f = g_6 / 6 = 1/36 (f + 7/6 e + (7/6)^2 d + (7/6)^3 c + (7/6)^4 b + (7/6)^5 a)
Bringt man nun f nach links und multiplizert mit 36/35 erhält man:
f = 1 / 30 (e + 7/6 d + (7/6)^2 c + (7/6)^3 b + (7/6)^4 a)
Und so kann man von oben nach unten immer mehr die Abhängigkeit auf die kleineren Variablen bringen.
e = 1/6 (f + g_5 + g_6) = 1/6 (7f + g_5) = 1/12 (d + 7/6 c + (7/6)^2 b + (7/6)^3 a)
d = 1/6 (c + 7/6 b + (7/6)^2 a)
c = 1/3 (b + 7/6 a)
b = 5/6 a
Also hat man b in Abhängigkeit von a, c in Abhängigkeit von b und a, wobei ja b auch nur in Abhängigkeit von a ist …
Den Beweis sehe ich nicht.
Hoffe, meine Ausführung hat die etwas weiter geholfen.
Rechne nochmal nach.
Naja, meine Rechnung stimmt. Aber vielleicht meine Beweisführung nicht so ganz. Vielleicht hab ich teilweise zu undeutlich die g_i’s definiert (obwohl ich wusste, was sie bedeuten) etc. .
Aber du solltest auch vorher mal genau überprüfen, ob deine Kritik angebracht ist. Eine Beweisführung zu kritisieren, wo man selbst nicht mal die Aufgabe richtig gelesen hat …
Trotzdem Danke für dein Kommentar
Gruß André Kornetzky