Hallo Zusammen,
Wir haben in der Schule die Geometrische Folge besprochen.
Die Folgengleichung sieht folgendermaßen aus a_{n}=a_{1}\cdot c^{n-1}
Nun sollen wir diese Folge als reihe darstellen und mit der vollständigen Induktion beweisen.
Ich habe mich mal daran probiert, bin mir aber nicht sicher ob meine Vorgehensweise stimmt.
\sum_{i=1}^n a_{1}c^{i-1}= \frac{1-c^n}{1-c} a_{1}
Für n=1 stimmt die Aussage.
\sum_{i=1}^1 a_{1}c^{1-1}=a_{1}= \frac{1-c^1}{1-c} a_{1}=a_{1} \Longrightarrow a_{1}=a_{1}
Ich weiss nicht ob das stimmt, wie beweise ich nun die gleichheit für die rechte und die linke Seite?
Danke im voraus.
Gruß Christof
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hi,
Wir haben in der Schule die Geometrische Folge besprochen.
Die Folgengleichung sieht folgendermaßen aus a_{n}=a_{1}\cdot c^{n-1}
mir ist das latex zu umständlich: ich schreib einfach
a(n) = a(1).c^(n-1)
okay?
Nun sollen wir diese Folge als reihe darstellen und mit der
vollständigen Induktion beweisen.
was beweisen?
ich nehme an, dass ihr beweisen sollt, dass sich der (zahlen-)wert der geometrischen reihe in einer bestimmten formel (s.u.) darstellen lässt.
Ich habe mich mal daran probiert, bin mir aber nicht sicher ob
meine Vorgehensweise stimmt.
\sum_{i=1}^n a_{1}c^{i-1}= \frac{1-c^n}{1-c} a_{1}
Für n=1 stimmt die Aussage.
\sum_{i=1}^1 a_{1}c^{1-1}=a_{1}= \frac{1-c^1}{1-c} a_{1}=a_{1}
\Longrightarrow a_{1}=a_{1}
induktionsanfang:
summe(i=1…1) a(1).c^(1-1) = a(1) einerseits
(1 - c^1)/(1-c) . a(1) = a(1) andrerseits
also
summe(i=1…n) a(1).c^(n-1) = (1 - c^n)/(1-c) . a(1)
für n=1
du hast das richtig gemacht, nur die conclusio / den schluss würd ich anders notieren.
induktionsschritt:
wir nehmen also an:
summe(i=1…n) a(1).c^(n-1) = (1 - c^n)/(1-c) . a(1)
und dann sehen wir uns die summe
summe(i=1…n+1) a(1).c^(n-1)
an. also einen summanden mehr!
nach induktionsvoraussetzung ist das:
(1 - c^n)/(1-c) . a(1) + a(1) . c^(n+1-1) =
= (1 - c^n)/(1-c) . a(1) + a(1) . c^n =
= a(1) . ((1 - c^n)/(1-c) + c^n) =
(auf den gemeinsamen nenner 1-c bringen!)
= a(1) . ((1 - c^n) + (c^n - c^(n+1))/(1-c) =
= a(1) . ((1 - c^(n+1))/(1-c)
und das ist die gesuchte summenformel für den fall n+1
also:
„q.e.d.“
m.
Ich weis gar nicht wie ich ihnen danken soll, die Aufgabe hat mich fast zur Verzweiflung getrieben.
Danke für die Mühe und den ausführlichen Lösungsweg!
Eine Frage hätte ich noch, zum besseren Verständnis.
Wir haben im Unterricht die Arithmetische Reihe Bewiesen, allerdings verstehe ich einen Schritt nicht so richtig.
Der Beweis geht folgendermaßen:
Arithmetische Folge: a_{n}=c\cdot n+a_{1}-c=c(n-1)+a_{1}
Als Reihe:
S_{n}=\sum_{i=1}^n a_{i}=\frac{n}{2}(a_{1}+a_{n})=\frac{n}{2}(a_{1}+c(n-1)+a_{1})=\frac{n}{2}(2a_{1}+c(n-1))
Dann der Beweis.
n=1
S_{n}=\sum_{i=1}^1 a_{1}=\frac{1}{2}(2a_{1}+c(1-1)) \Longrightarrow a_{1}=a_{1}
\sum_{i=1}^{n+1} a_{i}=\frac{(n+1)}{2}(2a_{1}+c\cdot n)\ und
\sum_{i=1}^{n} a_{i}+a_{n+1}=\frac{n}{2}(2a_{1}+c\cdot (n-1))+a_{n+1}\
So, jetzt hat unser Kurslehrer für a_{n+1}
den Term cn+a_{1}
wie kommt er dazu?
Die Explezite Form lautet doch a_{n}=c\cdot n+a_{1}-c was ist mit dem -c?
Nach dem einsetzen sieht das ganze dann so aus:
\sum_{i=1}^{n} a_{i}+a_{n+1}=\frac{n}{2}(2a_{1}+c\cdot (n-1))+cn+a_{1}\
Gruß Christof
moin;
ich nehme mal an es geht dir nur um den Schritt.
Wenn gilt, dass
a_n=cn+a_1-c
, dann ist logischerweise
a_{n+1}=c(n+1)+a_1-c=cn+c+a_1-c=cn+a_1
denke mal das konnte alle Klarheiten beseitigen =)
mfG
Okay, dass hätte ich Wissen müssen 
Vielen Dank!
Gruß Christof
hi,
Ich weis gar nicht wie ich ihnen danken soll, die Aufgabe hat
mich fast zur Verzweiflung getrieben.
Danke für die Mühe und den ausführlichen Lösungsweg!
wenn du partout danken willst, hat w-w-w dafür eine möglichkeit vorgesehen 
aber per text isses natürlich auch nett.
Eine Frage hätte ich noch, zum besseren Verständnis.
Wir haben im Unterricht die Arithmetische Reihe Bewiesen,
das hab ich schon beim ersten posting kaum verstanden: „die … reihe beweisen“. man kann beweisen, dass eine bestimmte reihe (bzw. ihr zahlenwert) sich mit einer bestimmten formel berechnen lässt, aber „eine reihe beweisen“ halt ich für eine missverständliche und missverstandene formulierung.
den rest müsstest du beim japanesischen teufelchen nachlesen können.
m.