Beweis: Grenzwert von Folgen - wie?

Wissenschaft Physik
#1

Hallo Experten,

wir sollen allgemein zeigen:

lim (an + bn) = unendlich,

wenn

lim (an) = a und lim (bn) = unendlich.

an und bn sind Folgen, a ist endlich und lim soll heißen: „limes n gegen unendlich“. Reicht es, wenn ich einfach schreibe:

lim (an + bn) = lim (an) + lim (bn) = a + unendlich = unendlich

Ich glaube kaum, dass wir eine solche Aufgabe bekommen hätten, wenn sie so einfach wäre, es sei denn sie wäre ein Geschenk. Da steckt aber doch bestimmt noch was dahinter! Wir sind alle am Grübeln, doch der Dozent rückt nichts heraus und keinem von uns fällt was Besseres ein.

Ich bedanke mich für etwaige Antworten. Und jetzt lasst mal eure chronisch unterbelasteten Mathematiker-Synapsen wieder was arbeiten :wink:)

Gruß
Huttatta

#2

lim (an + bn) ist eine summenfolge. für summenfolgen gilt:
der grenzwert einer summenfolge ist gleich der summe der grenzwerte der einzelfolgen der summenfolge.

wenn also gilt:
lim (an) = a
lim (bn) = unendl.

dann gilt:
lim (an + bn) = lim (an) + lim (bn)
= a + unendl.
=unendl.

brauchtdu noch den beweis für die summenfolge??

#3

Hallo ganso,

wenn also gilt:
lim (an) = a
lim (bn) = unendl.

dann gilt:
lim (an + bn) = lim (an) + lim (bn)
= a + unendl.
=unendl.

das ist genau das, was ich bereits geschrieben habe. Hmmm … weiß der Teufel, was den ehrenwerten Herrn Dozenten da geritten hat.

brauchtdu noch den beweis für die summenfolge??

Tja, brauche tu ichn nit. Abba interessiere däd’s mi scho :wink:

Gruß
Huttatta

#4

der beweis lässt sich im ansi-code schwer darstellen, aber den kannst du jedem guten oberstufen-analysis-buch nachlesen, mal abgesehen davon, dass diese regel durch nachdenken schon plausibel wird.

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#5

hi,

wir sollen allgemein zeigen:

lim (an + bn) = unendlich,

wenn

lim (an) = a und lim (bn) =
unendlich .

an und bn sind Folgen, a ist endlich und lim soll heißen:
„limes n gegen unendlich“. Reicht es, wenn ich einfach
schreibe:

lim (an + bn) = lim (an) + lim (bn) = a + unendlich =
unendlich

das glaub ich auch nicht, dass das reicht. man kann mit dingen wie „unendlich“ nicht einfach addieren; das gibt algebraischen unsinn.

du wirst an der definition der grenzwerte nicht vorbeikommen.

das eine bedeutet: für jedes epsilon > 0 gibts ein n(epsilon), sodass für alle n >= n(epsilon) gilt: | a(n) - a | = n© gilt: b(n) > C

grundidee: die b(n) wachsen über jede grenze. die a(n) sammeln sich um einen wert a. also wachsen auch die a(n) + b(n) über jede grenze.

hth
m.

#6

Hallo Michael,

du wirst an der definition der grenzwerte nicht vorbeikommen.

ganso’s Tipp, es mal mit meinem Oberstufenbuch zu versuchen, war auch gar nicht verkehrt, denn da habe ich es tatsächlich gefunden (hätte ich nicht, bevor ich erfahren habe, dass das Gesuchte „Summenfolge“ heißt). Es ist auch ganz einfach und mit etwas Überlegung kommt man vielleicht ganz von selbst darauf:

Zu zeigen ist folgendes:

**|(an + bn) - (a + unendlich)|

Sind an und bn Folgen und konvergiert an gegen a (endliche Zahl) und bn gegen unendlich, so gibt es für an für jedes beliebige Epsilon > 0 ein n(Epsilon) für das gilt:

|an - a|

Auch für bn existiert für jedes Epsilon > 0 ein n(Epsilon) für das gilt:

|bn - unendlich|

Wenn für jedes Epsilon > 0 ein n(Epsilon) existiert, dann existiert für beide Folgen laut der Voraussetzung, dass Epsilon beliebig klein sein darf, auch ein n(Epsilon/2) für das gilt:

|an - a| und

|bn - unendlich|

Addiere ich nun die Ungleichungen, so erhalte ich folgende resultierende Ungleichung:

|an - a| + |bn - unendlich|

Ich forme um:

|(an - a) + (bn - unendlich)| |(an + bn) - (a + unendlich)|

q.e.d.

Schön. In meinen 2 Mathebüchern steht es zwar etwas ausführlicher drin, aber das Prinzip ist mir klar geworden und so wie es hier steht, würde ich als Der-Mit-Mathe-Für-Biologen-Schon-Genug-Hat es aufschreiben. Einwände gerne willkommen.

Gruß und Dank
Huttatta**

#7

hi,

du wirst an der definition der grenzwerte nicht vorbeikommen.

Zu zeigen ist folgendes:

|(an + bn) - (a + unendlich)|

das ist allerdings so, wie es da steht, in zweifacher weise unsinn. erstens: du kannst mit dingen wie „unendlich“ nicht algebraisch rechnen. zweitens: wenn du ein „unendlich“ in der summe mit lauter endlichen gliedern hast, wird sich das mit epsilons nicht mehr ausgehen, sondern das ist dann wieder „unendlich“.

Sind an und bn Folgen und konvergiert an gegen a (endliche
Zahl) und bn gegen unendlich, so gibt es für an für jedes
beliebige Epsilon > 0 ein n(Epsilon) für das gilt:

|an - a|

das ist richtig.

Auch für bn existiert für jedes Epsilon > 0 ein n(Epsilon)
für das gilt:

|bn - unendlich|

das ist falsch.

man nennt den grenzwert „unendlich“ auch „uneigentlichen grenzwert“. man muss für uneigentliche grenzwerte die definition modifizieren. ich hab dir die richtige definition schon im vorigen posting hingeschrieben.
usw.

Schön. In meinen 2 Mathebüchern steht es zwar etwas
ausführlicher drin, aber das Prinzip ist mir klar geworden und
so wie es hier steht, würde ich als
Der-Mit-Mathe-Für-Biologen-Schon-Genug-Hat es aufschreiben.

ich denke auch, dass für einen biologen mit pflicht-mathematik ein exakter beweis an sich nicht nötig ist. da würds mir auch reichen, wenn das prinzip verstanden worden ist.
m.