Hi,
ich habe folgendes Problem:
Sei K ein 4 elementiger Körper.
Zeigen Sie für alle x,y E K, daß die
Gleichheit (x+y)^1024 = x^1024 + y^1024
gilt. Ich weiß das es für (x+y)^2 gilt,
denn 2 = 0 im vier elementigen Körper:
1+1+1+1=0 => (1+1)*(1+1) = 0
2*2=0 => 2=0
1024 = 2^10
aber wie kann ich das hinschreiben
geschweige denn zeigen?
Vielen Dank
Johannes
Gibt es einen 4elementigen Körper?
Hallo, Johannes,
denn endliche Körper haben eine prime Anzahl von Elementen, sonst sind sie nicht nullteilerfrei (d.h es gibt Elemente a,b mit
a*b=0 und a,b beide ungleich 0).
Oder darf ein Körper Nullteiler haben?
Gruß
Stefan
noch etwas: Binomi
Hallo, Johannes,
ob der vierelementige Körper mir etwas
schräg erscheint (wenn 2=0 ist, dann ist
3=1, folglich hat der Körper nur zwei
verschiedene Elemente!?) oder nicht, ist
eigentlich egal. Man kann ja immer noch den binomischen
Satz verwenden, um (x+y)^1024 zu evaluieren.
Gleichheit (x+y)^1024 = x^1024 + y^1024
gilt. Ich weiß das es für (x+y)^2 gilt,
Also: (x+y)^2 = x^2 + y^2 für alle x,y??
Die linke Seite traditionell ausschreiben,
dann findet man: xy=0.
Der Binomi liefert
(x+y)^1024 = x^1024 + (Mischterme mit mindestens einmal xy) + y^1024
Die Mischterme sind 0, da xy=0.
Ist das okay so?
Gruß
Stefan
Hallo, Johannes,
denn endliche Körper haben eine prime
Anzahl von Elementen, sonst sind sie
nicht nullteilerfrei (d.h es gibt
Elemente a,b mit
a*b=0 und a,b beide ungleich 0).
Oder darf ein Körper Nullteiler haben?
Oder eine Primzahlpotenz. Denn sei F§ der Körper mit p Elementen, f ein irreduzibles Polynom vom Grad n (Existiert immer, kann ich aber auch nicht beweisen), dann hat der Faktorkörper F§[X]/fF§[X] genau p^n Elemente und der ursprüngliche Körper lässt sich einbetten. Siehe Stichwort Körpererweiterung in jedem Algebra-Buch für den Beweis.
Gruß,
Jan
Gut zu wissen! Sowas lernt man bei der Post? (nt)