Ich soll beweisen, dass für n Element Z (ungerade) gilt: 8|(n^2-1)
Dieser senkrechte Strich dürfte Teiler heißen?
Da wir ein n^2 haben, reicht es doch eigentlich, nur die ungeraden Zahlen aus IN zu betrachten, denn die negativen aus Z werden ja positiv, sobald sie quadriert werden.
Also -1,-3,-5 zum Quadrat ist dasselbe wie 1,3,5 quadriert.
Mache ich mal ein paar Beispiele:
8/(1-1)
Ok, für n=plus minus 1 macht es keinen Sinn.
Für n=plus minus 3
8/2 = 4
Für n=plus minus fünf
8/4 = 2
Für n=plus minus sieben
8/6 = 4/3
Das teilen also für alle n ausser n=+1 und n=-1.
Und wie beweist man das jetzt allgemein?
Oder ist hier doch etwas anderes gefragt? Das Thema, das wir zur Zeit behandeln, sind eigentlich Äquivalenzrelationen.
Ich soll beweisen, dass für n Element Z (ungerade) gilt:
8|(n^2-1)
Dieser senkrechte Strich dürfte Teiler heißen?
„|“ = „teilt“; genauer: die links vom „|“ stehende Zahl teilt die rechts davon stehende Zahl. Beispiel: 8 teilt 0, 8, 16, 24, 32, 1000 und 888888888, aber 8 teilt nicht 1, 5, 79 und 333333. Die Aussage „8|(n^2-1) für alle ungeraden ganzen Zahlen“ ist damit gleichwertig zur Aussage „n^2-1 ist für alle ungeraden ganzen Zahlen ein ganzzahliges Vielfaches von 8“.
1² – 1 = 0
3² – 1 = 8
5² – 1 = 24
7² – 1 = 48
9² – 1 = 80
11² – 1 = 120
13² – 1 = 168
n² – 1 = immer ein Vielfaches von 8 (← und das sollst Du beweisen!)
Ich soll beweisen, dass für n Element Z (ungerade) gilt:
8|(n^2-1)
Dieser senkrechte Strich dürfte Teiler heißen?
Ja. Was Du da gerechnet hast, verstehe ich allerdings nicht ganz. Es soll doch bewiesen werden, dass n2-1 immer durch 8 ohne Rest teilbar ist, wenn n ungerade ist. Und das würde so gehen:
Jede ungerade Zahl n lässt sich als n=2k+1 darstellen, wobei k dann eine beliebige natürliche Zahl ist. Der gefragte Ausdruck ist dann
n2-1 = (2k+1)2-1 = 4k2+4k = 4k(k+1).
So. Dass das durch 4 teilbar ist, sieht man schon mal sofort. Der Rest, also k(k+1) muss jetzt noch durch 2 teilbar sein. Und das ist er. Wenn k nämlich gerade ist, ist eben k durch 2 teilbar, und wenn k ungerade ist, ist eben (k+1) durch 2 teilbar. Das wars. OK?
Da n ungerade ist, sind sowohl (n+1) als auch (n-1) gerade. Da n+1 um genau 2 größer ist als n-1, muss genau eine der beiden Zahlen durch vier teilbar sein. Also gilt:
hier noch der Beweis durch vollständige Induktion.
Die Behauptung
(1) n² – 1 ist durch 8 teilbar für alle ungeraden n.
ist äquivalent zur Aussage
(2) (2 k + 1)² – 1 ist durch 8 teilbar für alle ganzzahligen k.
Vollständige-Induktion-Frage: Was ist mit (2 (k+1) + 1)² – 1? []
Antwort: (2 (k+1) + 1)² – 1 = (2 k + 3)² – 1
= 4 k² + 12 k + 9 – 1
= 4 k² + 4 k + 1 – 1 + 8 k + 8
= (2 k + 1)² – 1 + 8 k + 8
Der unterstrichene Teil der Summe ist durch 8 teilbar nach Induktionsannahme, der nichtunterstrichene Teil ist es evidenterweise → Auch [] ist durch 8 teilbar → (2) ist wahr → (1) ist wahr.
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