Es gibt einen Satz, der besagt: Sei G eine Gruppe und U ⊆ G. U ist eine Untergruppe (von G) genau dann, wenn gilt dass g \circ h^{-1} \in U für alle g und h ∈ U.
Soweit, so gut. Nur sind mir die Gruppeneigenschaften nicht sofort ersichtlich.
Nun brauche ich den Beweis für diesen Satz. Da ich ne Null bin was Beweise angeht, somit auch Eure Hilfe.
Mein Ansatz:
Assoziativität der Verknüpfung wäre ja bereits durch die Gruppe gegeben.
Da h und das Inverse h-1 existieren (darf ich das dem Satz so entnehmen??), muss auch das neutrale Element existieren.
Und wie siehts dann mit der Abgeschlossenheit aus?
Reicht es aus zu sagen, daß
wenn h,h-1 ∈ U, dann wäre ja g \circ (h^{-1})^{-1} = g \circ h \in U.
Das ist der einzige Ansatz der mir einfällt, aber reicht das als Beweis aus?
Es gibt einen Satz, der besagt: Sei G eine Gruppe und U ⊆ G. U ist eine Untergruppe (von G)
genau dann, wenn gilt dass g \circ h^{-1}
\in U für alle g und h ∈ U.
Nee, den Satz gibt es nicht.
U darf nicht leer sein. Also „Sei G eine Gruppe und U eine *nichtleere* Teilmenge von G. …“
(Und jetzt sag nicht, „He, das ist doch klar, ich wähle ja g und h aus U!“, oder forgeschrittener, „He, das ist doch klar, wenn U leer wäre, wäre die Aussage ja automatisch falsch, weil es keine g und h gäbe“. - Denn beide Einwände sind falsch. Wenn U leer wäre, würde die Elementaussage im Satz gelten für alle g und h in U, ohne dass U eine Gruppe wäre.)
Beachte übrigens das „genau dann, wenn“. Bisher hast du dir nur Gedanken über das „wenn“ gemacht.
Assoziativität der Verknüpfung wäre ja bereits durch die
Gruppe gegeben.
Ja.
Neutrales Element:
Sei g aus U (U ist nichtleer!). Dann nach Voraussetzung (h=g):
1 = gg^-1 in U
Inverses
Sei h aus U. Dann nach Voraussetzung (g = 1 in U)
h^-1 = 1h^-1 in U
Damit ist U eine Gruppe.
Die Umkehrung folgt trivialerweise: Wenn U eine Gruppe ist, ist U abgeschlossen, aus h in U folgt h^-1 in U und damit (bei g in U) auch gh^-1 in U.
Der Beweis steht übrigens in jedem Algebra-Buch, erstes Kapitel …
dieses Dingens ist auch als „Untergruppenkriterium“ bekannt. Such mal in Google unter diesem Stichwort. Es gibt ne Menge Seiten dazu, viele inklusive Beweis, weil er weder lang noch schwierig ist.
vielen Dank! Der Link beantwortet alle meine Fragen!
dieses Dingens ist auch als „Untergruppenkriterium“ bekannt.
Gut zu wissen, das hätte mich vorher sicherlich weiter gebracht als die Stichworte „beweis untergruppe“. Darunter hab ich jedenfalls nichts dergleichen gefunden.
erstmal vielen Dank für Deine Antwort. Die Antwort von Martin hat mir aber bereits weitergeholfen!
Nee, den Satz gibt es nicht.
U darf nicht leer sein. Also „Sei G eine Gruppe und U eine
*nichtleere* Teilmenge von G. …“
(Und jetzt sag nicht, „He, das ist doch klar, ich wähle ja g
und h aus U!“, oder forgeschrittener, „He, das ist doch klar,
wenn U leer wäre, wäre die Aussage ja automatisch falsch, weil
es keine g und h gäbe“. - Denn beide Einwände sind falsch.
Wenn U leer wäre, würde die Elementaussage im Satz gelten für
alle g und h in U, ohne dass U eine Gruppe wäre.)
Du hast eine sehr „prophylaktische“ Weise zu Antworten Du hast völlig Recht - keine Einwände.
Beachte übrigens das „genau dann, wenn“. Bisher hast du dir
nur Gedanken über das „wenn“ gemacht.
also eigentlich lag darin mein Problem, daß es „genau dann“ eine Untergruppe ist.
Neutrales Element:
Sei g aus U (U ist nichtleer!). Dann nach Voraussetzung (h=g):
Woher die Vorrausetzung, daß g=h? Und wenn g≠h?
Der Beweis steht übrigens in jedem Algebra-Buch, erstes
Kapitel …
Ich nehme die Voraussetzung (dass nämlich für g, h in U gilt gh^-1 in U) und wähle mir ein g in U und nehme für h wieder g. Nirgens steht geschrieben, dass g und h verschieden sein müssen (kann aich gar nicht stehen, weil es einelementige Untergruppen gibt).
Beim nächsten Schritt analog: ich wähle mir das neutrale Element, das ja in U ist, wie gerade gezeigt.
Du hast völlig Recht - keine Einwände.